[논문 리뷰] Cobordism of singular maps

András Szücs|ArXiv.org|2006. 12. 06.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 코버디즘의 단순화된 지도에 대한 분류 공간 $X_{\tau}$ 의 호모토피 유형이 카자리안의 스펙트럴 시퀀스 공간의 호모로지와 연결되는 카자리안의 추측을 증명한다. 유리수 코버디즘 군이 특정한 안정적인 특이점들을 갖는 단순화된 지도에 대해 카자리안 공간의 호모로지 군과 동형임을 확립하고, $X_{\tau}$ 를 피브레이션 기반으로 구성함으로써 코버디즘 군의 계수와 특이점 제거에 대한 장벽을 명시적으로 계산할 수 있다.

ABSTRACT

We prove a conjecture due to M. Kazarian, connecting two classifying spaces in singularity theory. These spaces are: - Kazarian's space (generalizing Vassiliev's algebraic complex and) showing which cohomology classes are represented by singularity strata. - Author's space $X_τ$ giving homotopy representation of cobordisms of singular maps with a given list of allowed singularities \cite{R--Sz}. As a consequence we obtain the ranks of cobordism groups of singular maps with a given list of allowed singularities, and also their $p$-torsion parts for big primes $p.$ Further we give complete answer to the problem of elimination of singularities by cobordisms. Obtain very clear homotopical description of the classifying space $X_τ.$ We reveal some connection of the torsion parts of these cobordism groups to the stable homotopy groups of spheres and values of Thom polynomials.

연구 동기 및 목표

• 특이점의 코버디즘에 대한 분류 공간 $X_{\tau}$ 와 카자리안의 스펙트럴 시퀀스 공간 사이의 호모토피 동치를 확립하기 위해.
• 고정된 안정적인 특이점 목록을 갖는 지도의 유리수 및 $p$- torsion 부분군을 계산하기 위해.
• 특이점 제거를 위한 코버디즘을 통한 완전한 장벽 이론을 제공하기 위해.
• 클래식한 코버디즘 정리들—예를 들어 폰트리아진-톰과 콘너-플로이드—를 특이점이 있는 지도로 일반화하기 위해.
• $X_{\tau}$ 를 반복 피브레이션으로 구성하여, 임베딩의 코버디즘 군에서 특이점이 있는 지도의 코버디즘 군으로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 도출하기 위해.

제안 방법

• 특이점이 있는 지도의 코버디즘을 스펙트럼의 필터링이 가미된 호모토피 군과 연결하기 위해 폰트리아진-톰 구성법을 사용하기 위해.
• 불안정한 카자리안 공간 ${\mathcal{K}}^{co}_{\tau}(n)$ 을 $B(SO_n \times SO_{n+k})$ 위의 번들로 정의하기 위해, $H_n$ 이라는 공액 작용을 갖는 공액된 군 작용을 사용하기 위해.
• 모든 $n \to \infty$ 에 대해 ${\mathcal{K}}^{co}_{\tau}(n)$ 의 열린 극한으로 안정한 카자리안 공간 ${\mathcal{K}}_{\tau}$ 를 구성하고, 각 특이점 $\eta \in \tau$ 에 대해 $BG_\eta$ 성분으로 분해됨을 보여주기 위해.
• $X_{\tau}$, 즉 $\tau$-지도의 코버디즘에 대한 분류 공간이, 유리수 호모로지에서 투르에비치 유형의 동형사상에 의해 ${\mathcal{K}}_{\tau}$ 와 호모토피 동치임을 증명하기 위해.
• $X_{\tau}$ 의 피브레이션 구조를 이용하여, 임베딩의 코버디즘 군에서 출발하여 특이점이 있는 지도의 코버디즘 군으로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 유도하기 위해.
• 모린 지도(코르랭크 1 특이점)에 이론을 적용하여, 그들의 코버디즘 군의 계수를 명시적으로 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 안정적인 특이점 목록을 갖는 특이점이 있는 지도의 코버디즘 군은 카자리안의 스펙트럴 시퀀스 공간의 호모로지와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 특이점이 있는 지도의 코버디즘에 대한 분류 공간 $X_{\tau}$ 는 피브레이션으로 묘사될 수 있으며, 그 호모토피적 구조는 무엇인가?
• RQ3 코버디즘을 통한 특이점 제거에 대한 완전한 장벽은 무엇인가?
• RQ4 폰트리아진-톰과 콘너-플로이드와 같은 고전적인 코버디즘 정리는 어느 정도 특이점이 있는 지도로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 모린 지도(즉, 코르랭크 1 특이점만을 갖는 지도)와 일반적인 $\tau$-지도에 대해 코버디즘 군의 명시적 계수는 무엇인가?

주요 결과

• 주어진 안정적인 특이점 목록을 갖는 특이점이 있는 지도의 유리수 코버디즘 군은 해당 카자리안 공간 $\mathcal{K}_\tau$ 의 호모로지 군과 동형이다.
• 모든 소수 $p > \frac{1}{2} \dim M$ 에 대해, $\tau$-지도의 코버디즘 군의 $p$- torsion 부분군은 $H_*(\mathcal{K}_\tau; \mathbb{Z})$ 의 것과 일치한다.
• 모든 모린 지도(즉, 코르랭크 1 특이점만을 갖는 지도)에 대해, 코버디즘 군의 계수는 $\mathcal{K}_\tau$ 의 베티 수를 통해 명시적으로 계산된다.
• $\tau$-지도의 코버디즘에 대한 분류 공간 $X_\tau$ 는 반복 피브레이션으로 실현되며, 이는 임베딩의 코버디즘 군에서 특이점이 있는 지도의 코버디즘 군으로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 제공한다.
• $X_\tau$ 의 호모토피 유형으로부터 특이점 제거를 위한 완전하고 계산 가능한 장벽 집합이 도출된다.
• 안정한 카자리안 공간 $\mathcal{K}_\tau$ 는 각 $\eta \in \tau$ 에 대해 $BG_\eta$ 의 분리된 합집합으로 분해되며, 여기서 $G_\eta$ 는 $\eta$ 의 루트 게름의 자동사상 군이다.