[논문 리뷰] Cocenter of $p$-adic groups, II: induction map

Xuhua He|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 군의 헤이크 대수의 코센터의 뉴턴 성분 간의 유도 맵을 구성하며, 이것이 전사임을 증명하고 잭위 함수와 수반된다는 것을 보인다. 특성 0에서 이 맵은 동형사상임을 보이며, 이는 코센터에 대한 버네스타인-루즈티그 유형의 표현을 이끌어내고 뉴턴 분해와의 호환성을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we study some relation between the cocenter $\bar H(G)$ of the Hecke algebra $H(G)$ of a connected reductive group $G$ over an nonarchimedean local field and the cocenter $\bar H(M)$ of its Levi subgroups $M$. Given any Newton component of $\bar H(G)$, we construct the induction map $\bar i$ from the corresponding Newton component of $\bar H(M)$ to it. We show that this map is surjective. This leads to the Bernstein-Lusztig type presentation of the cocenter $\bar H(G)$, which generalizes the work \cite{HN2} on the affine Hecke algebras. We also show that the map $\bar i$ we constructed is adjoint to the Jacquet functor and in characteristic $0$, the map $\bar i$ is an isomorphism.

연구 동기 및 목표

• 레비 부분군 $M$의 코센터에서 재수성 $p$-진 군 $G$의 코센터로의 유도 맵 $\bar{i}_{M,R}$을 정의하고, 뉴턴 분해와 호환되도록 하는 것.
• 이 맵이 표현 수준에서 잭위 함수와 수반된다는 것을 증명하여 특성 0에서 알려진 결과를 일반화하는 것.
• 이 맵이 $\mathbb{Z}[1/p]$ 위에서 정수적 구조를 유지함을 보여, mod-$l$ 표현 이론에의 응용을 가능하게 하는 것.
• 이 맵이 특성 0에서 동형사상임을 증명하여, 아핀 헤이크 대수에 대한 버네스타인-루즈티그 표현의 일반화를 이루는 것.
• 뉴턴 분해가 유도 맵과 호환됨을 보여, 레비 부분군 간의 구조가 유지됨을 확인하는 것.

제안 방법

• 뉴턴 분해 $\bar{H}(G) = \oplus \bar{H}(v)$를 사용하여, $v$가 주어진 강한 유리 코무게이트일 때, 뉴턴 성분에 대한 유도 맵 $\bar{i}_{v}: \bar{H}(M;v) \to \bar{H}(\bar{v})$를 구성한다.
• 버시넬의 $P_v$-양성 원소의 구성과 $j_{v,\mathcal{K}}: H^v(M,\mathcal{K}_M) \to H(G,\mathcal{K})$의 단사 대수 준동형사를 사용하여, 헤이크 대수 수준에서 맵을 정의한다.
• 코센터로의 맵을 몫 $\bar{H}(G) = H(G)/[H(G), H(G)]$를 통해 올리며, 추적 사상과 잭위 함수와의 호환성을 확보한다.
• 맥케이 공식을 적용하고, $\Psi(M)_R$의 문자 공간 위의 대수적 함수의 양성 부분을 분석하여 $G$와 $M$의 추적을 연결한다.
• 복소수 위에서의 스펙트럼 밀도 정리를 적용하여, 만약 $\bar{i}_v(f)$의 추적이 모든 유도 표현에서 0이면, $f$는 $M$에서의 추적의 핵에 속한다는 것을 보여, 전사성을 증명한다.
• 특성 0에서 맵 $\bar{i}_\nu$가 단사임을 증명하기 위해, 복소수 위에서의 스펙트럼 밀도 정리와 $\mathbb{Z}[1/p]$ 위에서의 코센터의 자유성(자유 모듈러성)을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 부분군 $M$의 코센터에서 재수성 $p$-진 군 $G$의 코센터로의 잘 정의된 유도 맵 $\bar{i}_{M,R}$이 존재하고, 뉴턴 분해와 호환되는가?
• RQ2 계수 $\mathbb{Z}[1/p]$를 갖는 정수형 구조 $\bar{H}(G)$ 위에서 이 맵을 구성할 수 있으며, mod-$l$ 표현 이론을 위한 구조를 유지하는가?
• RQ3 유도 맵이 코센터 수준에서 잭위 함수와 수반되는가?
• RQ4 특성 0에서 맵 $\bar{i}_{M,R}$이 동형사상이 되는가?
• RQ5 뉴턴 분해가 유도 맵과 호환되는가? 즉, $\bar{i}_v$가 $\bar{H}(M;v)$를 $\bar{H}(\bar{v})$로 보낸다.

주요 결과

• 모든 레비 부분군 $M$과 뉴턴 성분 $v$에 대해, 맵 $\bar{i}_v: \bar{H}(M;v) \to \bar{H}(\bar{v})$는 전사적이다.
• 맵 $\bar{i}_v$는 잭위 함수 $r_{M,R}$과 수반되며, 모든 $\pi \in \mathfrak{R}(G)_R$에 대해 $\mathrm{Tr}^G(\bar{i}_v(f), \pi) = \mathrm{Tr}^M(f, r_{M,R}(\pi))$를 만족한다.
• 특성 0에서 맵 $\bar{i}_\nu: \bar{H}(M;\nu) \xrightarrow{\cong} \bar{H}(\bar{\nu})$는 동형사상이며, 강력한 구조적 결과를 이끌어낸다.
• $\bar{H}(G)_R$의 추적 맵의 핵은 $\bigoplus_{v \in V_+} (\ker \mathrm{Tr}^G_R \cap \bar{H}_R(v))$로 분해되며, 이는 뉴턴 성분과의 호환성을 보여준다.
• $\bar{i}_v^{-1}(\ker \mathrm{Tr}^G_R \mid_{\bar{H}_R(\bar{v})}) = \ker \mathrm{Tr}^M_R \mid_{\bar{H}_R(M;v)}$를 만족하여, 추적 맵의 핵과의 호환성을 확인한다.
• 구성은 $\mathbb{Z}[1/p]$ 위에서 정수적 구조를 유지하며, mod-$l$ 표현에의 응용을 가능하게 하고 특성 0을 초월한 결과의 확장을 가능하게 한다.