[논문 리뷰] Coherence for braided and symmetric pseudomonoids

Dominic Verdon|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 약한 모나드 이중범주에서 브레드 및 대칭 페시브모노이드의 일관성 정리를 수립하기 위해 이러한 구조에 대한 컴퓨다와 조합적 2범주 사이의 이등치를 구축함으로써, 매클레인의 고전적 일관성 결과를 고차 범주론적 설정으로 일반화한다. 모든 다이어그램이 수렴함을 보여주지만, 대칭 모나드 이중범주에서 브레드 페시브모노이드의 경우를 제외하고는 2세포가 순수 브레드 군 원소에 대응함을 밝힌다.

ABSTRACT

Presentations for unbraided, braided and symmetric pseudomonoids are defined. Biequivalences characterising the semistrict bicategories generated by these presentations are proven. It is shown that these biequivalences categorify results in the theory of monoids and commutative monoids, and generalise standard coherence theorems for braided and symmetric monoidal categories.

연구 동기 및 목표

• 브레드 및 대칭 모나드 범주에 대한 고전적 일관성 정리를 약한 모나드 이중범주에서 페시브모노이드의 설정으로 확장하기.
• 반대칭, 브레드, 대칭 페시브모노이드에 대한 컴퓨다를 반엄격 모나드 이중범주에서 정의하기.
• 이 컴퓨다로부터 생성된 모나드 이중범주와 더 단순한 조합적 2범주 사이의 이등치를 증명하기.
• 이러한 이등치가 기존의 모노이드 이론 결과를 범주화하고 표준 일관성 정리를 고차 대수적 구조로 일반화함을 보여주기.
• 이전 결과(예: 레이크의 결과)가 적용되지 않는 브레드 및 대칭 페시브모노이드의 일관성 문제를 해결하기.

제안 방법

• 생성자와 관계를 사용하여 반엄격 모나드 이중범주에서의 순수, 브레드, 대칭 페시브모노이드에 대한 컴퓨다 정의하기.
• 모노이드 이론의 PROs, PROBs, PROPs와 이sov모르피즘을 갖는 조합적 2범주를 구성하기. 여기서 객체는 자연수이고, 사상은 단조 함수 또는 군 작용으로 표현된다.
• 컴퓨다로부터 생성된 모나드 이중범주와 조합적 2범주 사이의 이등치를 증명하기.
• 도식적 추론과 Globular에서의 재작성 규칙을 사용하여, 유니터, 결합자, 브레딩, 교환자와 관련된 등식 유도하기.
• 반복적인 재작성 절차를 통해 루프에서의 유니터 생성 및 파기 연산자를 제거하고, 나무 구조를 갖는 곱셈 구조를 고정하기.
• 브레드 페시브모노이드가 대칭 모나드 이중범주에 존재하는 특수한 경우를 다루기 위해 순수 브레드 군 원소에 대응하는 2세포 도입하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브레드 및 대칭 모나드 범주에 대한 고전적 일관성 정리는 약한 모나드 이중범주에서 페시브모노이드로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 브레드 및 대칭 페시브모노이드에 대한 컴퓨다로부터 생성된 모나드 이중범주와 이등치인 조합적 2범주는 무엇인가?
• RQ3 모든 다이어그램이 수렴하는 경우는 언제이며, 비자명한 2세포(예: 브레드 군에서 유래한 것들)가 일관성 구조에 나타나는 경우는 언제인가?
• RQ4 Globular에서의 도식적 재작성은 고차 대수적 구조에 대한 일관성 결과를 증명하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 유니터와 결합자들은 페시브모노이드의 일관성에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 어떻게 체계적으로 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 어느 약한 모나드 이중범주에서나 순수 및 대칭 페시브모노이드의 경우, 일관성 2범주는 국소적으로 이산적이며, 이는 모든 다이어그램이 수렴함을 의미한다.
• 대칭 모나드 이중범주에서의 브레드 페시브모노이드의 경우, 일관성 2범주 ${f FS}^{ ext{br}}$는 순수 브레드 군의 원소에 대응하는 비자명한 2세포를 갖는다.
• 컴퓨다로부터 생성된 모나드 이중범주와 조합적 2범주 사이의 이등치는 범주 Cat로 제한되었을 때 매클레인의 고전적 일관성 정리를 암시한다.
• 모든 유니터 생성 및 파기 연산자는 도식적 재작성으로 체계적으로 루프에서 제거될 수 있으며, 이는 모든 이러한 루프가 항등 2세포와 동치임을 증명한다.
• 증명은 Globular에서의 5- 및 6세포 유도의 연속적 시퀀스에 기반하며, 삼각 항등식에서 유도 가능한 주요 보조정리들(결합자, 유니터, 교환자)을 포함한다.
• 비자명한 2세포는 오직 대칭 모나드 이중범주 내에서의 브레드 경우에만 나타나며, 이 경우 2세포는 순수 브레드 군에 의해 지배되며, 비자명한 브레딩 구조를 반영한다.