[논문 리뷰] The Classification of Two-Dimensional Extended Topological Field Theories

Christopher Schommer‐Pries|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 39인용 수 168

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 이중범주에서 2차원 확장된 무방향 및 방향성 있는 경계 이중범주에 대한 완전한 생성자 및 관계 표현을 제공함으로써, 임의의 목표 이중범주를 가진 확장된 위상장 이론(TFTs)을 분류한다. 핵심 결과는 목표가 가환환 위의 대수, 이중모듈러스, 상호작용자 이중범주일 경우, 방향성 있는 확장된 TFT가 분리 가능한 대칭 프로베누스 대수와 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

We provide a complete generators and relations presentation of the 2-dimensional extended unoriented and oriented bordism bicategories as symmetric monoidal bicategories. Thereby we classify these types of 2-dimensional extended topological field theories with arbitrary target bicategory. As an immediate corollary we obtain a concrete classification when the target is the symmetric monoidal bicategory of algebras, bimodules, and intertwiners over a fixed commutative ground ring. In the oriented case, such an extended topological field theory is equivalent to specifying a (non-commutative) separable symmetric Frobenius algebra. The text is divided into three chapters. The first develops a variant of higher Morse theory and uses it to obtain a combinatorial description of surfaces suitable for the higher categorical language used later. The second chapter is an extensive treatment of the theory of symmetric monoidal bicategories. We introduce several stricter variants on the notion of symmetric monoidal bicategory, and give a very general treatment of the notion of presentation by generators and relations. Finally we provide a host of strictification and cohernece results for symmetric monoidal bicategories. The final chapter focuses on extended tqfts. We give a precise treatment of the extended bordism bicategory equipped with additional structure (such as framings or orientations). We apply the results of the previous two chapters to obtain a simple presentation of both the oriented and unoriented bordism bicategories, and describe the general method to obtain such classifications for other choices of structure. We examine the consequences of our classification when the target is the bicategory of algebras, bimodules, and maps, over a fixed commutative ground ring.

연구 동기 및 목표

• 2차원 확장된 경계 이중범주를 생성자와 관계를 사용하여 완전한 대수적 표현을 제공한다.
• 임의의 목표 대칭 모나드 이중범주를 가진 확장된 위상장 이론(TFTs)을 분류한다.
• 목표가 대수, 이중모듈러스, 상호작용자 이중범주일 경우, 방향성 있는 확장된 TFT와 분리 가능한 대칭 프로베누스 대수 사이의 구체적 대응을 확립한다.
• 대칭 모나드 이중범주 이론의 기초 도구를 개발한다. 이는 조율 정리와 엄격화 결과를 포함한다.
• 모르스 이론과 세르프 이론의 기법을 일반화하여 표면에 대해 표면 분류에 의존하지 않고도 이중범주적 분해 정리를 수립한다.

제안 방법

• 제트의 일반적 위치와 제트 공간의 분할을 통해 고차 모나드 이론과 세르프 이론을 응용하여 표면에 대한 이중범주적 분해 정리를 개발한다.
• 임의의 두 표면 분해 간에 전환하는 데 충분한 국소적 관계의 유한 목록을 도입하여 생성자 및 관계 표현의 핵심을 형성한다.
• 대칭 모나드 이중범주를 위한 그림 기반 계산법을 개발하며, 비편향 엄격형 및 준엄격형과 같은 더 엄격한 변형을 포함한다.
• 조율 정리를 적용하여 대칭 모나드 이중범주 간의 사상이 단순한 기준 집합을 만족할 경우 동치임을 보인다.
• 컴퓨터드와 표현 이론을 사용하여 대칭 모나드 이중범주에 대한 생성자와 관계를 체계적으로 형식화한다.
• 추가 구조(예: 방향성, 프레임)를 가진 확장된 경계 이중범주를 구성하고, 개발된 도구를 통해 그 표현을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 모나드 이중범주로서 2차원 확장된 무방향 및 방향성 경계 이중범주는 어떤 완전한 생성자 및 관계 집합을 갖는가?
• RQ2 표면 분류에 의존하지 않고 고차 모나드 이론을 어떻게 응용하여 표면의 이중범주적 분해를 만들 수 있는가?
• RQ3 대칭 모나드 이중범주 간의 사상이 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 분리 가능한 대칭 프로베누스 대수의 개념은 방향성 경우의 확장된 위상장 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 브레인 다면체와 시릴레프스는 대칭 모나드 이중범주의 조율 구조에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 2차원 확장된 무방향 및 방향성 경계 이중범주는 대칭 모나드 이중범주 범주에서 생성자와 관계를 통해 완전히 표현 가능하다.
• 가환환 위의 대수, 이중모듈러스, 상호작용자 이중범주를 목표로 하는 확장된 위상장 이론은 방향성 있는 경우 분리 가능한 대칭 프로베누스 대수와 동치이다.
• 이 논문은 대칭 모나드 이중범주 간의 사상이 동치임을 보여주는 유한하고 명시적인 조건 목록을 제공하는 조율 정리를 확립한다.
• 브레인 다면체는 브레인 모나드 이중범주에서 필수적인 조율 법칙으로 규명되었으며, 카프라노프와 보예보프스키, 브레인의 이전 정의를 수정한다.
• 비편향 엄격형 대칭 모나드 2범주를 위한 새로운 그림 기반 계산법을 개발하여 조율성과 표현을 보다 직접적으로 다룰 수 있게 하였다.
• 컴퓨터드와 표현 이론이 대칭 모나드 이중범주로 일반화되어 이 맥락에서 생성자와 관계의 체계적인 다루움을 가능하게 하였다.