[논문 리뷰] Cohomological Hall algebras and affine quantum groups

Yaping Yang, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 07.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 화살표 다이어그램 $Q$와 형식적 군 $\mathbb{G}$에 대해 관련된 전프로젝티브 코homological Hall 대수 (CoHA)에 comultiplication을 정의하여 bialgebra로 만들고, 그 Drinfeld double을 정의한다. 이는 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$를 양자화하는 양자 아핀 대수를 실현한다. $\mathbb{G}$가 덧셈군일 경우, Drinfeld double은 Drinfeld-Jimbo 양자군 $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$와 동형이 되며, CoHA와 샤프르 대수를 통한 아핀 양자군의 새로운 대수적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We study the preprojective cohomological Hall algebra (CoHA) introduced by the authors in an earlier work for any quiver $Q$ and any one-parameter formal group $\mathbb{G}$. In this paper, we construct a comultiplication on the CoHA, making it a bialgebra. We also construct the Drinfeld double of the CoHA. The Drinfeld double is a quantum affine algebra of the Lie algebra $\mathfrak{g}_Q$ associated to $Q$, whose quantization comes from the formal group $\mathbb{G}$. We prove, when the group $\mathbb{G}$ is the additive group, the Drinfeld double of the CoHA is isomorphic to the Yangian.

연구 동기 및 목표

• 임의의 화살표 다이어그램 $Q$와 형식적 군 $\mathbb{G}$에 대해 전프로젝티브 코homological Hall 대수 (CoHA)에 comultiplication을 정의하여 bialgebra로 만들기.
• 이 bialgebra의 Drinfeld double을 정의하여, $Q$에 관련된 대칭 Kac-Moody 대수 $\mathfrak{g}_Q$의 유니버설 포괄 대수 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$의 양자화를 실현하기.
• CoHA 프레임워크를 통해 기존의 아핀형 양자군과 새로운 아핀형 양자군을 통일된 대수적 방법으로 구축하기.
• 형식적 군 $\mathbb{G}$가 덧셈군일 경우, CoHA의 Drinfeld double이 Drinfeld-Jimbo 양자군 $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$와 동형임을 보여주기.

제안 방법

• CoHA의 구면 확장 $\mathcal{P}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}}(Q,A)$를 사용하며, 이는 두 개의 $t_1, t_2$ 등변 매개변수를 가진 샤프르 대수이다.
• 아델 버전의 대수 위에서 잔여 쌍대를 통해 $\Delta: \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}} \to \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}} \widehat{\otimes} \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}}$ 형태의 comultiplication을 정의한다.
• 비퇴화된 bialgebra 쌍대를 사용하여 Drinfeld double을 구성하며, 곱셈과 comultiplication이 원래 bialgebra와 동일한 공식으로 정의된다.
• 이 구성은 샤프르 대수의 구조와 전프로젝티브 대수의 표현 모듈라이의 기하학에 기반한다.
• 잔여 조건 $H_k^+(u) = H_k^-(-u)$를 부여하고 토피컬을 제거하여 감소된 Drinfeld double $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$를 정의한다.
• 생성자 $x_k^+(u), x_k^-(u), \xi_k(u)$를 이중에서 $E_k(u), F_k(u), H_k(u)$로 매핑하고 잔여 계산을 통해 양자군 관계를 검증함으로써, 양자군과의 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 화살표 다이어그램 $Q$와 형식적 군 $\mathbb{G}$에 대해 전프로젝티브 코homological Hall 대수에 comultiplication을 정의할 수 있는가? 이는 bialgebra로 만든다.
• RQ2 이 bialgebra의 Drinfeld double이 대칭 Kac-Moody 대수 $\mathfrak{g}_Q$에 관련된 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$의 양자화를 실현하는가?
• RQ3 형식적 군 $\mathbb{G}$가 덧셈군일 경우, 이 CoHA의 Drinfeld double은 Drinfeld-Jimbo 양자군과 동형인가?
• RQ4 형식적 군 $\mathbb{G}$가 타원곡선일 경우, 이 구성이 [Fed94]의 타원 양자군을 복원하는가?
• RQ5 유한형 및 아핀 다인킨 타입의 화살표 다이어그램에 대해, 양자군에서 감소된 Drinfeld double로의 사상이 동형인가?

주요 결과

• 전프로젝티브 코homological Hall 대수 $\mathcal{P}(Q,A)$는 아델 버전의 대수 위에서 잔여 쌍대를 통해 정의된 comultiplication $\Delta$를 지녀 bialgebra가 된다.
• Drinfeld double $D(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$는 완비 텐서 tích 위에서 잔여를 사용한 쌍대를 통해 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$의 양자화이다.
• 형식적 군 $\mathbb{G}$가 덧셈군일 경우, $t_1 = t_2 = \hbar/2$에서 감소된 Drinfeld double $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$는 화살표 다이어그램에 고리가 없는 경우 Drinfeld-Jimbo 양자군 $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$와 동형이다.
• 유한형 화살표 다이어그램의 경우, $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$에서 $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$로의 사상은 삼각 분해를 비교하여 동형임을 확인하였다.
• 이 구성은 대수적 군에서 유래하지 않는 형식적 군으로 일반화되어 새로운 아핀 양자군을 얻으며, $\mathbb{G}$가 타원곡선일 경우 [Fed94]의 타원 양자군을 복원한다.
• 이중 양자군 $DY_\hbar(\mathfrak{g})$는 감소된 Drinfeld double의 일부로 포함될 것으로 예상되며, 이 CoHA 프레임워크를 통한 더 넓은 이중 양자군 실현이 가능하다.