[논문 리뷰] Generators for Coulomb branches of quiver gauge theories

Alex Weekes|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 34인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 3차원 $\mathcal{N}=4$ 퀘이버 게이지 이론의 양자화된 쿨롱 브랜치가 변형 매개변수 $\hbar=1$일 때 조각자른 이동형 양얀과 동형임을 확립하며, 유한한 ADE 유형에서는 $\mathbb{C}[\hbar]$ 위에서의 등급 동형으로 확장된다. 이는 대수적 구조와 분류된 구조를 통해 쿨롱 브랜치를 완전한 대수적 기술로 제공함을 보여주며, 복합된 최소 단위의 자기모멘트 연산자로 생성된다고 증명한다.

ABSTRACT

We study the Coulomb branches of $3d$ $\mathcal{N}=4$ quiver gauge theories, focusing on the generators for their quantized coordinate rings. We show that there is a surjective map from a shifted Yangian onto the quantized Coulomb branch, once the deformation parameter is set to $\hbar =1$. In finite ADE type, this extends to a surjection over $\mathbb{C}[\hbar]$. We also show that these algebras are generated by the dressed minuscule monopole operators, for an arbitrary quiver (this is similar to the proof of Theorem 4.29 in arXiv:1811.12137). Finally, we describe how the KLR Yangian algebra from arXiv:1806.07519 is related to Webster's extended BFN category. This paper provides proofs for two results which were announced in arXiv:1806.07519.

연구 동기 및 목표

• 3차원 $\mathcal{N}=4$ 퀘이버 게이지 이론에 대한 양자화된 쿨롱 브랜치의 완전한 대수적 기술을 제공하는 것.
• 이동형 양얀에서 쿨롱 브랜치로의 전사 사상 수립 및 유한 ADE 유형에서의 동형을 확립하는 것.
• 임의의 퀘이버에 대해 쿨롱 브랜치가 복합된 최소 단위 자기모멘트 연산자로 생성됨을 증명하는 것.
• 2018년 [KTW+18]에서 제시된 KLR 양얀과 웹스터의 확장된 BFN 카테고리 간의 관련성을 카테고리적 및 대수적 구조를 통해 연결하는 것.

제안 방법

• BFN 구조를 사용하여 쿨롱 브랜치를 커플레션 대수로 정의함으로써 $\mathbb{C}[\hbar]$ 위에서의 변형 양자화를 도출한다.
• 리스 대수 구조를 적용하여 유한 ADE 유형에서 $\hbar=1$일 때의 동형을 $\mathbb{C}[\hbar]$ 위에서의 등급 동형으로 승격시킨다.
• 쿨롱 브랜치를 분류된 구조와 연결하기 위해 대수의 다이어그램 $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}} \to \mathcal{A} \leftarrow \mathcal{A}^{\mathsf{ab}}$를 구성한다.
• 도표 기반 기반으로 KLR 대수 $\mathscr{B}^\mathbf{v}$와 이동형 양얀 $Y_\mu^\lambda$의 다항식 표현을 비교한다.
• 웨일 군 내의 최소 길이 경로를 사용하여 사상 공간의 기저를 정의하고, 양얀의 도표 기반 생성자를 일치시킨다.
• 원통형 KLR 다이어그램을 통해 생성자 이미지를 일치시켜 $Y_\mu^\lambda$, $\mathsf{e} \reflectbox{\rm R}_{\hbar=1} \mathsf{e}$, 및 $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}}_{\hbar=1}$를 포함하는 다이어그램의 교환성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 $\mathcal{N}=4$ 퀘이버 게이지 이론의 양자화된 쿨롱 브랜치가 $\hbar=1$일 때 조각자른 이동형 양얀과 동형인지 여쭙니다.
• RQ2 이 동형은 유한 ADE 유형에서 $\mathbb{C}[\hbar]$ 위에서의 등급 동형으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 임의의 퀘이버에 대해 복합된 최소 단위 자기모멘트 연산자가 전체 양자화된 쿨롱 브랜치 대수를 생성하는 데 충분한가?
• RQ4 KTW+18에서 제시한 KLR 양얀 대수는 쿨롱 브랜치의 맥락에서 웹스터의 확장된 BFN 카테고리와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 체 $\mathbb{C}$ 위에서의 대수 동형 $Y_\mu^\lambda \cong \mathcal{A}^{\mathsf{sph}}_{\hbar=1}$ 가 존재하며, 이는 쿨롱 브랜치가 $H_{\mathbf{G}}^\ast(pt)$의 다항식 환과 복합된 최소 단위 자기모멘트 연산자로 생성됨을 증명한다.
• 유한 ADE 유형에서, $\mathbb{C}[\hbar]$ 위에서의 등급 대수 동형 $\mathbf{Y}_\mu^\lambda \cong \mathcal{A}^{\mathsf{sph}}$ 가 존재하여 $\hbar=1$ 결과를 전체 변형으로 확장한다.
• 유한 ADE 유형에서 쿨롱 브랜치의 좌표 환은 복합된 최소 단위 자기모멘트 연산자 $M_{\varpi_{i,1},f}$ 및 $M_{\varpi_{i,1}^*,f}$에 의해 파울슨 생성된다.
• $Y_\mu^\lambda \to \mathsf{e} \reflectbox{\rm R}_{\hbar=1} \mathsf{e}$ 사상은 동형이며, 이는 [KTW+18, 정리 4.19]의 증명을 완성한다.
• $\mathcal{A}^{\mathsf{sph}}$와 $\mathsf{e} \mathcal{A} \mathsf{e}$ 사이의 동형은 카테고리 $\mathscr{B}^\mathbf{v}$를 통해 확립되어 쿨롱 브랜치를 카테고리적 구조와 연결한다.
• 양얀 생성자 $F_i^{(r)}$의 상은 엔도모르피즘 $\partial_{i,\mathbf{v}_i} \cdots \partial_{i,2} z_1^{r-1} r_{\boldsymbol{\lambda}} \mathsf{e}$와 일치하며, 원통형 KLR 다이어그램의 이미지와 일치한다.