[논문 리뷰] Cohomological Hall algebras and perverse coherent sheaves on toric Calabi-Yau 3-folds

Miroslav Rapčák, Yan Soibelman외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 66인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 토릭 칼라비-ยอ우 3-fold에서 코homological Hall 대수(COHA)와 펄스러운 코herent sheaf 간의 연결 고리를 설정한다. Drinfeld 이중을 구성하고, 올림과 내림 연산자를 통해 모듈리 공간에 작용함으로써 이루어진다. 주요 기여는 기하학적 루트 체계에서 유도된 루트 시스템과 관련된 이동된 양얀(Yangian)을 통해 이 작용이 인수화됨을 추측하는 것으로, 이 이동은 3-fold 내의 교차 수에 의해 결정된다.

ABSTRACT

We study the Drinfeld double of the (equivariant spherical) Cohomological Hall algebra in the sense of Kontsevich and Soibelman, associated to a smooth toric Calabi-Yau 3-fold $X$. By general reasons, the COHA acts on the cohomology of the moduli spaces of certain perverse coherent systems on $X$ via "raising operators". Conjecturally the COHA action extends to an action of the Drinfeld double by adding the "lowering operators". In this paper, we show that the Drinfeld double is a generalization of the notion of the Cartan doubled Yangian defined earlier by Finkelberg and others. We extend this "$3d$ Calabi-Yau perspective" on the Lie theory furthermore by associating a root system to certain families of $X$. We formulate a conjecture that the above-mentioned action of the Drinfeld double factors through a shifted Yangian of the root system. The shift is explicitly determined by the moduli problem and the choice of stability conditions, and is expressed explicitly in terms of an intersection number in $X$. We check the conjectures in several examples, including a special case of an earlier conjecture of Costello.

연구 동기 및 목표

• 펄스러운 코herent sheaf의 모듈리 공간에 대한 COHA 작용을 내림 연산자를 도입하여 확장하기 위해, COHA의 Drinfeld 이중을 구성한다.
• 토릭 칼라비-ยอ우 3-fold의 기하 데이터를 사용하여 3차원 칼라비-ยอ우 환경으로 일반화된 카르탕 이중 양얀의 개념을 확장한다.
• 토릭 칼라비-ยอ우 3-fold의 가닥들에 대해 루트 시스템을 정의하고, 이에 기반한 Drinfeld 이중 작용이 이동된 양얀으로 분해된다는 추측을 수립한다.
• 해결된 원뿔과 C^3을 포함한 핵심 예제에서 추측을 검증하고, Costello의 이전 이동된 양얀에 대한 추측과 연관시킨다.
• 모듈리 문제에서 교차 수와 안정성 조건을 통해 이동된 양얀의 기하적 실현을 제공한다.

제안 방법

• 부분이 있는 쿼버에서 유도된 매끄러운 토릭 칼라비-ยอ우 3-fold X에 관련된 (등급화된 구형) COHA의 Drinfeld 이중을 구성한다.
• 해당 해상도 f:X→Y에 의해 유도된 D^b(Coh(X)) 위의 t-구조를 사용하여 생성자에 대한 종속 대수로 COHA를 정의한다.
• X 위의 펄스러운 코herent 시스템 모듈리 공간의 코homology에 대한 컨볼루션 작용을 통해 올림 연산자를 정의한다.
• Drinfeld 이중의 구조를 완성하기 위해 내림 연산자를 도입하며, 이는 COHA 작용을 양얀 유사 대수로 확장하는 데 추측적으로 기여한다.
• 이동된 양얀의 이동을 X 내의 교차 수를 통해 명시적으로 표현하여 안정성 조건과 모듈리 문제와 연결한다.
• 비판적 코homology에서 Jeffreys-Kirwan 잔여 공식을 적용하여 푸시포워드를 계산하고, 고정점에서 Drinfeld 이중의 작용을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토릭 칼라비-ยอ우 3-fold에서 펄스러운 코herent sheaf의 모듈리 공간의 코homology에 대해 COHA의 Drinfeld 이중은 어떻게 작용하는가?
• RQ2 COHA의 Drinfeld 이중은 3-fold 기하학에 자연스럽게 관련된 루트 시스템과 연결된 이동된 양얀으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 이동된 양얀의 이동 매개변수의 기하학적 기원은 무엇이며, X 내의 교차 수에 의해 어떻게 결정되는가?
• RQ4 C^3과 해결된 원뿔의 경우, Drinfeld 이중 작용이 gl(1)의 이동된 양얀을 통해 분해되는가?
• RQ5 안정성 조건과 t-구조의 선택은 얻어진 양얀의 구조와 그 표현 이론에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 토릭 칼라비-ยอ우 3-fold에서 COHA의 Drinfeld 이중은 펄스러운 코herent sheaf의 모듈리 공간의 코homology에 대해 올림 및 내림 연산자를 통해 작용한다.
• Drinfeld 이중은 카르탕 이중 양얀 구조를 일반화하여 3차원 칼라비-ยอ우 맥락으로 확장한다.
• COHA의 Drinfeld 이중 작용이 토릭 3-fold에서 유도된 루트 시스템의 이동된 양얀으로 분해된다는 추측을 수립한다. 이 이동은 X 내의 교차 수에 의해 결정된다.
• C^3의 경우, 이동된 양얀의 gl(1)은 점들의 힐베르트 스킴을 통해 실현되며, 양얀의 관계가 코homology에서 검증된다.
• 해결된 원뿔의 경우, COHA 작용은 PT 모듈리 공간에서 계산되며, 등급화된 코homology와 잔여 공식을 사용하여 고정점이 분석된다.
• 비판적 코homology에서 잔여 푸시포워드 공식을 적용하여 Drinfeld 이중의 작용을 계산하였으며, 결과는 고정점 성분 위의 잔여합으로 표현되어 핵심 예제에서 추측을 확인한다.