[논문 리뷰] Cohomology Jumping Loci and Relative Malcev Completion

Anthony Narkawicz|ArXiv.org|2008. 04. 25.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초평면 배치의 기본군의 상대 Malcev 완비화를 도입하여, 유니포텐트 완비화와 국소계의 코homology를 통합한다. 상대 Malcev 완비화가 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 및 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $의 코homology 군에 의해 제어됨을 증명하고, 일반적인 표현에 대해 관련 스펙트럴 시퀀스가 분해됨을 보여, 이로 인해 완비화가 국소계의 코homology에 의해 결정됨을 시사한다.

ABSTRACT

Two standard invariants used to study the fundamental group G of the complement X of a hyperplane arrangement are the Malcev completion of G and the cohomology groups of X with coefficients in rank one local systems. In this paper, we develop a tool that unifies these two approaches. This tool is the Malcev completion S_p of G relative to a homomorphism p from G into (C^*)^N. This is a prosolvable group that is tightly controlled by the cohomology groups of X with coefficients in rank one local systems. The prounipotent radical U_p of the relative completion S_p corresponds to a pronilpotent Lie algebra u_p. We provide an example of a hyperplane complement X for which this algebra is not quadratically presented. In addition, we show that if X is a hyperplane complement and Y is a subtorus of the character torus, then S_p is combinatorially determined for general p in Y. Finally, we show that the relative completion S_p is generally constant over subvarieties of the character torus.

연구 동기 및 목표

• 초평면 배열의 보완의 두 표준적 불변량인 기본군의 Malcev 완비화와 국소계에 대한 코homology를 통합하기 위해.
• 표현 $ \boldsymbol{\rho} \to (\mathbb{C}^*)^N $에 대해 $ \pi_1(X,x_0) $의 상대 Malcev 완비화를 정의하고 연구함으로써 표준 Malcev 완비화를 일반화하기 위해.
• 상대 Malcev 완비화가 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 및 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $의 코homology 군에 의해 제어됨을 보여주기 위해, 여기서 $ \mathbb{V}_\alpha $는 계수 1의 국소계이다.
• 일반적인 표현에 대해 스펙트럴 시퀀스의 분해 결과를 확립함으로써, 완비화가 코homological 자료에 의해 결정됨을 시사하기 위해.
• 일반적인 $ \boldsymbol{\rho} $에 대해 상대 완비화의 Eilenberg-Moore 스펙트럴 시퀀스가 $ E_\infty $에서 분해됨을 증명하기 위해, $ \mathcal{O}(Y) $-모듈의 Noetherian 모듈러 argument를 사용한다.

제안 방법

• 상대 Malcev 완비화 $ \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} $를 프로대수적 군의 확장 $ 1 \to \mathcal{U}_{\boldsymbol{\rho}} \to \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} \to D_{\boldsymbol{\rho}} \to 1 $로 정의하며, 여기서 $ D_{\boldsymbol{\rho}} $는 $ \boldsymbol{\rho}(\pi_1(X,x_0)) $의 Zariski 폐쇄이다.
• 유리형 호모토피 이론을 사용하여, cdga $ E^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) = \bigoplus_{\alpha \in D_{\boldsymbol{\rho}}^\vee} E^\bullet(X, \mathbb{V}_\alpha) \otimes V_\alpha^* $로부터 프로니르포텐트 리 대수 $ \mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}} $를 구성한다.
• $ D_{\boldsymbol{\rho}} $--equivariant 동형사상: $ \prod_{\alpha} H^1(X, \mathbb{V}_\alpha)^* \otimes V_\alpha \cong H_1(\mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}}) $ 및 전사 사상 $ \prod_{\alpha} H^2(X, \mathbb{V}_\alpha)^* \otimes V_\alpha \twoheadrightarrow H_2(\mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}}) $를 확립한다.
• 감소된 바 구조를 위한 $ \mathcal{O}(Y) $ 위에서의 Eilenberg-Moore 스펙트럴 시퀀스 $ E_n(Y) $를 구성하며, $ E_1^{-s,t}(Y) = [H^+(X, \mathcal{O}_Y)^{\otimes s}]^t \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathcal{O}(D_Y) $이다.
• $ E_n(Y) $가 가чёт히 생성된 $ \mathcal{O}(Y) $-모듈의 복합체임을 증명하고, Theorem 9.14를 사용하여 Noetherian 성질을 통해 $ E_1 $에서 $ E_\infty $로의 동형사상의 승계를 수행한다.
• 일반적인 $ \boldsymbol{\rho} \in Y $에 대해, 자연스러운 사상 $ E_\infty(Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to E_\infty(\boldsymbol{\rho}) $가 동형임을 보이며, 이미지의 조밀성과 코homology 기저 변경을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초평면 배열 보완의 기본군의 Malcev 완비화는 어떻게 $ (\mathbb{C}^*)^N $로의 표현을 포함시켜 일반화할 수 있는가?
• RQ2 코homology 군 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 및 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $와 상대 Malcev 완비화의 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 상대 완비화의 Eilenberg-Moore 스펙트럴 시퀀스가 언제 $ E_\infty $에서 분해되는가?
• RQ4 상대 Malcev 완비화는 $ Y $가 $ (\mathbb{C}^*)^N $의 부분다양체일 때 일반적인 점 $ \boldsymbol{\rho} \in Y $로의 기저 변경에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 상대 Malcev 완비화는 어느 정도 국소계의 코homology에 의해 결정되며, 언제 이차적으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 상대 Malcev 완비화 $ \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} $는 프로대수적 군의 확장 $ 1 \to \mathcal{U}_{\boldsymbol{\rho}} \to \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} \to D_{\boldsymbol{\rho}} \to 1 $이며, $ \boldsymbol{\rho} $를 올리는 모든 확장 중에서 유일한 것이다.
• 프로니르포텐트 리 대수 $ \mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}} $는 cdga $ E^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) $에서 유도되며, $ D_{\boldsymbol{\rho}} $-equivariant 사상들을 통해 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ 및 $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $에 의해 그 호모로지가 제어된다.
• 일반적인 $ \boldsymbol{\rho} \in Y $에 대해, 자연스러운 사상 $ E_\infty(Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to E_\infty(\boldsymbol{\rho}) $는 동형이며, 이는 스펙트럴 시퀀스가 $ E_\infty $에서 분해됨을 시사한다.
• Eilenberg-Moore 스펙트럴 시퀀스 $ E_n(Y) $는 가чёт히 생성된 $ \mathcal{O}(Y) $-모듈의 복합체이며, 이 성질은 Theorem 9.14를 통해 $ E_1 $에서 $ E_\infty $로의 동형사상의 귀납적 승계를 가능하게 한다.
• $ \boldsymbol{\rho} $가 $ G_Y $에서 Zariski 조밀할 경우, 코homology 기저 변경 $ H^\bullet(X, \mathcal{O}_Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to H^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) $는 동형이며, 이는 코homological 자료의 호환성을 보장한다.
• 논문에서 반례를 제시함으로써 상대 Malcev 완비화는 일반적으로 1-형식적이지 않음을 보여, Massey 곱이 불확실성 모듈로에서 항상 0이 되지 않음을 시사한다.