[논문 리뷰] Colouring and Covering Nowhere Dense Graphs

Martin Grohe, Stephan Kreutzer외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 18.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 색칠 수를 사용하여, 단조인 그래프 클래스가 희박한 이웃 커버를 가질 조건을 규명한다. 이는 단조인 그래프 클래스가 희박한 이웃 커버를 가질 조건이자, 전방위 밀도가 아님과 동치임을 보여준다. 또한, $ r \geq 3 $에 대해 약한 $ r $-색칠 수를 계산하는 것이 NP-완전임을 증명하고, 다항 확장 클래스에 대한 질문을 해결하며, 다양한 그래프 클래스에서 일반화된 색칠 수에 대한 날카운 상한과 하한을 제공한다.

ABSTRACT

It was shown by Grohe et al. that nowhere dense classes of graphs admit sparse neighbourhood covers of small degree. We show that a monotone graph class admits sparse neighbourhood covers if and only if it is nowhere dense. The existence of such covers for nowhere dense classes is established through bounds on so-called weak colouring numbers. The core results of this paper are various lower and upper bounds on the weak colouring numbers and other, closely related generalised colouring numbers. We prove tight bounds for these numbers on graphs of bounded tree width. We clarify and tighten the relation between the expansion (in the sense of "bounded expansion" as defined by Nesetril and Ossona de Mendez) and the various generalised colouring numbers. These upper bounds are complemented by new, stronger exponential lower bounds on the generalised colouring numbers. Finally, we show that computing weak r-colouring numbers is NP-complete for all r>2.

연구 동기 및 목표

• 희박한 이웃 커버를 가진 단조인 그래프 클래스를 일반화된 색칠 수를 사용해 특성화하는 것.
• 얕은 미니처 밀도와 일반화된 색칠 수 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 다양한 그래프 클래스에서 약한 및 강한 색칠 수에 대한 날카운 상한과 하한을 설정하는 것.
• 다항 확장 클래스에서 약한 색칠 수에 대한 열린 질문을 해결하는 것.
• $ r \geq 3 $에 대해 약한 $ r $-색칠 수를 계산하는 계산 복잡도를 증명하는 것.

제안 방법

• 전방위 밀도 그래프 클래스에서 희박한 이웃 커버를 특성화하기 위해 약한 $ r $-색칠 수를 핵심 도구로 사용한다.
• 일반화된 색칠 수에 대한 조합적 경계를 적용하여 이웃 커버의 차수 경계를 유도한다.
• 약한 $ r $-색칠 수를 계산하는 데 있어 NP-완전성을 증명하기 위해 균형 잡힌 완전 이분부분그래프(BCBS) 문제로부터의 축소를 활용한다.
• 트리너비가 $ k $ 이하인 그래프에 대해 약한 색칠 수에 대한 날카운 상한을 설정하여, $ \mathrm{wcol}_r(G) \in \mathcal{O}(r^k) $임을 보인다.
• 고정된 그래프를 위상적 미니처로 포함하지 않는 클래스에 대해 약한 $ r $-색칠 수에 대한 지수 상한 $ \mathrm{wcol}_r(G) \in \mathcal{O}((c_{\mathcal{C}} \cdot r)^r) $을 설정한다.
• 다항 확장 클래스에 대해 약한 색칠 수에 대해 초다항 하한을 구성하여, $ r $에 대해 어떤 다항식보다도 더 빠르게 증가함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 단조인 그래프 클래스에서 희박한 이웃 커버가 존재하며, 이를 특성화하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 트리너비가 유한한 그래프에 대해 약한 및 강한 $ r $-색칠 수에 대한 날카운 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ3 다항 확장 클래스는 반드시 다항식으로 유 bounds된 약한 색칠 수를 가져야 하는가?
• RQ4 모든 $ r \geq 3 $에 대해 약한 $ r $-색칠 수를 계산하는 것이 NP-완전한가?
• RQ5 얕은 미니처 밀도는 일반화된 색칠 수, 예를 들어 $ \mathrm{wcol}_r $, $ \mathrm{col}_r $, 및 $ \mathrm{adm}_r $와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 단조인 그래프 클래스가 희박한 이웃 커버를 가질 조건은 전방위 밀도임과 동치이며, 이는 [12]의 결과의 역을 증명한다.
• 트리너비가 $ k $ 이하인 그래프에 대해 약한 $ r $-색칠 수는 $ \mathcal{O}(r^k) $로 유계이며, 이 경계는 날카롭다.
• 고정된 그래프를 위상적 미니처로 포함하지 않는 클래스에 대해 약한 $ r $-색칠 수는 $ \mathcal{O}((c_{\mathcal{C}} \cdot r)^r) $로 유계이며, 이 경계는 유계된 차수 클래스에 대한 지수 하한 덕분에 거의 최적이다.
• 다항 확장 클래스 중에는 약한 $ r $-색칠 수가 $ r $에 대해 초다항적으로 증가하는 클래스가 존재하여, Joret와 Wood의 질문에 대해 부정적인 답변을 제시한다.
• 모든 $ r \geq 3 $에 대해 약한 $ r $-색칠 수를 계산하는 것은 균형 잡힌 완전 이분부분그래프 문제로부터의 축소를 통해 NP-완전하다.
• 이분 그래프의 여집합 그래프에 대해 약한 $ r $-색칠 수는 $ r=3 $에서 안정화되며, 즉 모든 $ r \geq 3 $에 대해 $ \mathrm{wcol}_r(\bar{G}) = \mathrm{wcol}_3(\bar{G}) $이다.