[논문 리뷰] Combinatorial Bounds on Nonnegative Rank and Extended Formulations

Samuel Fiorini, Volker Kaibel외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 02.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 30인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다면체의 확장 복잡도에 대한 조합적 하한을 구하기 위해 그 슬랙 행렬의 비영 요소 패턴을 덮기 위해 필요한 최소 직사각형 수를 분석함으로써 수립한다. 입체도, 버크호프 다면체, Ω(d²)개의 정점을 가진 이웃 다면체는 확장 형식의 크기가 Ω(d²)여야 하며, 이는 직사각형 커버링이 대칭적이고 고차원 다면체에서 큰 확장 복잡도를 증명하는 데 강력하지만 제한된 도구임을 보여준다.

ABSTRACT

An extended formulation of a polytope P is a polytope Q which can be projected onto P. Extended formulations of small size (i.e., number of facets) are of interest, as they allow to model corresponding optimization problems as linear programs of small sizes. The main known lower bounds on the minimum sizes of extended formulations for fixed polytope P (Yannakakis 1991) are closely related to the concept of nondeterministic communication complexity. We study the relative power and limitations of the bounds on several examples.

연구 동기 및 목표

• 직사각형 커버링 하한과 기존의 확장 복잡도 하한 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 직사각형 커버링 접근법이 확장 복잡도 하한을 증명하는 도구로서의 강점과 한계를 조사하기 위해.
• 일부 다면체에 대해 차원 d와 log n에 대해 직사각형 커버링 수가 초다항식이 될 수 있는지 여부를 규명하기 위해.
• 특정 다면체 가족, 특히 완전 매칭 다면체에 대해 직사각형 커버링 하한의 날카러움을 검토하기 위해.
• 면 레이어스 임bedding 기반의 다른 하한이 직사각형 커버링 방법을 능가할 수 있는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 다면체 P의 슬랙 행렬 S에 대해 xc(P) = rank₊(S)라는 얀나카키스의 특성화를 이용하여 슬랙 행렬의 비음수 랭크를 확장 복잡도의 대체 척도로 사용하기 위해.
• 직사각형 커버링 수를 비음수 랭크의 하한으로 사용하기 위해, 슬랙 행렬의 지지 집합 내의 조합적 직사각형을 정의하기 위해.
• 기하학적 및 그래프 이론적 해석을 활용하여, 예를 들어 피루잉 세트 하한을 특정 그래프의 클리크 수와 연결하기 위해.
• 정점 집합과 그 커버링에 기반한 세고 기반의 추론을 포함한 극한 조합론을 통해 직사각형 커버링의 하한을 증명하기 위해.
• 이웃 d-다면체가 Ω(d²)개의 정점을 가진 경우, 직사각형 커버링 수가 Ω(d²)임을 증명함으로써, 이는 확장 복잡도가 Ω(d²)임을 암시한다.
• 입체도와 버크호프 다면체가 어떤 확장 형식에서도 그 면의 수 이상의 부등식을 필요로 함을 조합적 커버링 추론을 통해 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 알려진 예시에서 d와 log n에 대해 다항식이지만, 일부 다면체에 대해 직사각형 커버링 수가 초다항식이 될 수 있는가?
• RQ2 직사각형 커버링 하한은 항상 비음수 랭크에 대해 다항식으로 유계일까, 아니면 그보다 훨씬 클 수 있는가?
• RQ3 완전 매칭 다면체에 대해 직사각형 커버링 수가 여전히 O(n⁴)일까, 아니면 이 자명한 상한 이하로 향상될 수 있는가?
• RQ4 직사각형 커버링 수를 사용하여 d와 log n에 대해 모두 초선형인 하한을 증명할 수 있는 다면체 가족이 존재하는가?
• RQ5 d와 log n에 대해 직사각형 커버링 수가 초다항식인 다면체가 존재하는가? 이는 이 하한과 다른 복잡도 측정치 사이의 잠재적 격차를 시사한다.

주요 결과

• 입체도와 버크호프 다면체는 그 면의 수와 동일한 크기 이상의 확장 형식이 필요하며, 이는 더 작은 확장 형식이 존재하지 않음을 의미한다.
• Ω(d²)개의 정점을 가진 d차원 이웃 다면체의 경우, 확장 복잡도는 Ω(d²)이며, 이는 이러한 다면체가 이차 이하 크기의 확장 형식으로 표현될 수 없음을 보여준다.
• n = Θ(k²)일 때 직사각형 커버링 수는 Θ(n)이며, 이는 이러한 다면체에 대해 차원 d와 정점 수 n에 대해 모두 초선형임을 나타내며, 여기서 d는 차원, n은 정점 수이다.
• 비음수 랭크에 대한 피루잉 세트 하한은 슬랙 행렬에서 유도된 특정 그래프의 클리크 수와 동치이며, 새로운 조합적 해석을 제공한다.
• 2차원의 비정규 n각형의 경우 직사각형 커버링 수는 O(log n)이지만, 확장 복잡도는 Ω(√n)이므로, 일부 경우에 직사각형 커버링 하한이 매우 날카롭지 않음을 보여준다.
• 논문은 직사각형 커버링 수가 d와 log n에 대해 초다항식이 될 수 있는지 여부를 열려 있는 문제로 남기며, 임의의 행렬 A에 대해 지원 집합 M을 가진 경우 최대 (rank(A)+1)²임을 알고 있다.