[논문 리뷰] Some 0/1 polytopes need exponential size extended formulations

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 30.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 16인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 매트로이드 폴리토프를 포함한 특정 0/1 폴리토프가 지수 크기의 확장 형식을 필요로 함을 증명한다. 이는 정확한 표현을 위해 다항식 크기의 선형 프로그래밍 문제로 표현할 수 없음을 의미한다. 핵심 결과는 일부 n차원 0/1 폴리토프의 확장 복잡도가 최소 $2^{n/2 ullet (1-o(1))}$임을 보여주며, 이는 $
extbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$를 가정할 경우 TSP와 같은 문제조차도 임의의 실수 계수를 사용하더라도 압축된 형식을 갖출 수 없음을 시사한다.

ABSTRACT

We prove that there are 0/1 polytopes P that do not admit a compact LP formulation. More precisely we show that for every n there is a sets X \subseteq {0,1}^n such that conv(X) must have extension complexity at least 2^{n/2 * (1-o(1))}. In other words, every polyhedron Q that can be linearly projected on conv(X) must have exponentially many facets. In fact, the same result also applies if conv(X) is restricted to be a matroid polytope. Conditioning on NP not contained in P_{/poly}, our result rules out the existence of any compact formulation for the TSP polytope, even if the formulation may contain arbitrary real numbers.

연구 동기 및 목표

• 어떤 0/1 폴리토프 가족이 압축된 확장 형식을 갖지 못하는지 여부를 해결하기 위해.
• 일부 0/1 폴리토프의 확장 복잡도가 차원에 따라 지수적으로 증가함을 보여주기 위해.
• 임의의 실수 계수를 사용하는 비대칭 형식조차도 이러한 폴리토프에 대해 다항식 크기의 표현을 제공할 수 없음을 보여주기 위해.
• TSP 폴리토프가 $
  \mathbf{NP} \subseteq \mathbf{P_{/poly}}$가 아닐 경우에만 압축된 형식을 갖지 못함을 입증하기 위해.
• 伝통적인 계수 인코딩 가정의 제약을 우회하는 새로운 수량 기반 추론을 제공하기 위해.

제안 방법

• 집합 $X \subseteq \{0,1\}^n$ 에서 다항식 길이로 인코딩된 둥근 선형 시스템 $(\bar{A}, \bar{U}, \bar{b})$ 로의 단사 사상 구축.
• 확장 형식의 체계에서 선형 독립인 부분계를 최대 부피로 선택하여 단사성 보장.
• 코딩 길이를 유한하게 유지하면서도 근사 타당성을 유지하기 위해 확장 다면체의 계수를 이산화.
• 구간 제약 조건 기반 다항식 시간 검증 절차를 활용해 $X$에 속하는지 여부 확인.
• 이러한 시스템의 수를 기반으로 한 수량적 추론을 통해 확장 복잡도에 대해 이중 지수 하한선 도출.
• TSP 결정 문제를 확장 형식 위에서의 최적화 문제로 환원하여 $
  \mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$ 조건 하에서의 비가역성 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 크기의 확장 형식이 필요한 0/1 폴리토프가 존재하는가?
• RQ2 TSP 폴리토프는 임의의 실수 계수를 사용하는 압축된 확장 형식으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 매트로이드 폴리토프에 대해 다항식 크기의 확장 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ4 n차원 0/1 폴리토프의 최소 확장 복잡도는 얼마인가?
• RQ5 NP-난이도 문제에 대해 압축된 형식이 존재하는 것이 알려진 복잡도 가정과 모순되는가?

주요 결과

• 확장 복잡도가 최소 $2^{n/2 \cdot (1-o(1))}$ 이상인 $n$차원 0/1 폴리토프가 존재함을 증명하여 지수 하한선을 입증한다.
• 확장 형식이 유리수 외에 임의의 실수 계수를 사용할 수 있는 경우에도 결과가 성립함을 보여준다.
• 동일한 지수 하한선이 매트로이드 폴리토프에도 적용되며, 이는 결과가 일반적인 0/1 폴리토프에 국한되지 않음을 시사한다.
• $\mathbf{NP} \not\subseteq \mathbf{P_{/poly}}$를 가정할 경우, TSP 폴리토프는 어떤 압축된 확장 형식도 갖지 못한다.
• 부피 최대화와 계수 이산화를 통해 전통적인 계수 인코딩 제약을 우회하는 증명 기법을 제공한다.
• 집합 $X \subseteq \{0,1\}^n$ 에서 다항식으로 인코딩된 선형 시스템으로의 단사 사상이 존재하며, 이는 이러한 시스템의 수에 대해 이중 지수 하한선을 암시한다.