[논문 리뷰] Commensurating HNN-extensions: hierarchical hyperbolicity and biautomaticity

Sam Hughes, Motiejus Valiunas|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 45인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 위에서 작용하는 산술 표면군의 공명하는 HNN 확장으로, 이중에서 비이중성인 첫 번째 계층적 초구면군(HHG)의 예를 구성한다. 이 군은 $ \mathrm{CAT}(0)$, 순환 없음, 균일성, 기약성이며, 가설적 이중성 구조 하에서 이동 길이 함수의 유리성 실패와 지오데식 커런트를 통해 비이중성임을 증명한다.

ABSTRACT

We construct a CAT(0) hierarchically hyperbolic group (HHG) acting geometrically on the product of a hyperbolic plane and a locally-finite tree which is not biautomatic. This gives the first example of an HHG which is not biautomatic, the first example of a non-biautomatic CAT(0) group of flat-rank 2, and the first example of an HHG which is injective but not Helly. Our proofs heavily utilise the space of geodesic currents for a hyperbolic surface.

연구 동기 및 목표

• 계층적 초구면군(HHG)이 모두 이중성인지 여부에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 평탄한 랭크 2인 $ \mathrm{CAT}(0)$ 군 중에서 이중성이 아닌 첫 번째 예를 구성하기 위해.
• 이중성이지만 헬리 성질이 아닌 첫 번째 HHG, 그리고 비근본적 유한성인 HHG의 첫 번째 예를 제공하기 위해.
• 경계 분석에 의존하지 않는, 지오데식 커런트를 기반으로 한 비이중성 증명을 위한 새로운 방법을 개발하기 위해.
• HHG에서의 비이중성은 Leary–Minasyan 군과 같은 기존 구성 방식으로는 환원될 수 없다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 산술 표면군의 HNN 확장으로, 안정적 원소가 표면군을 공명시키고 $ \mathbb{RH}^2$ 위에서 무한 순서의 타원적 등급 이sovmetry로 작용하는 $ \Gamma < \mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times T_{24}$ 의 균일 기약 격자 구축.
• $\Gamma$ 가 $ \mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 위에 등급 이sovmetry로 작용함을 이용해, $\Gamma$ 가 $ \mathrm{CAT}(0)$ 이고 자유롭게 코컴팩트하게 작용함을 유도.
• [Hug22a, 보조정리 3.3] 을 적용하여 $\Gamma$ 가 계층적 초구면군(HHG)임을 결론짓는다.
• 가장자리가 유한한 이중성 구조 $(B, \mathcal{M})$ 가 $\Gamma$ 에 존재한다고 가정하고, 준연속성과 제한을 통해 표면부군 $\widehat{G} \cong \pi_1(\Sigma)$ 에 대해 이중성 구조 $(A, \mathcal{L})$ 를 유도.
• $\mathcal{C}^+(\Sigma)$ 위에 이동 길이 함수 $\tau_{\mathcal{L}}$ 를 정의하며, 이는 지오데식 커런트 공간 $\mathcal{G}^+(\Sigma)$ 를 통해 인식되며, 양의 선형성과 동차성임을 보인다.
• Martínez-Granado 및 Thurston의 깊은 결과를 활용해 함수를 지오데식 커런트로 확장하여 $\tau_{\mathcal{L}} = k \cdot \iota(-, \lambda_\Sigma)$ 를 도출하며, 이는 $\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_a)/\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_c)$ 가 무리수임으로써 모순을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 계층적 초구면군(HHG)은 이중성인가?
• RQ2 평탄한 랭크 2인 $ \mathrm{CAT}(0)$ 군이 이중성이 아닌 경우가 존재하는가?
• RQ3 Leary–Minasyan 군으로부터 또는 그것을 포함하는 방식으로 구성되지 않은 비이중성 HHG가 존재하는가?
• RQ4 지오데식 커런트와 교차 수를 통해 비이중성의 실패를 감지할 수 있는가?
• RQ5 이중성이지만 헬리 성질이 아니거나, 비근본적 유한성인 $ \mathrm{CAT}(0)$ 군이 존재하며, 이는 여전히 HHG인가?

주요 결과

• 논문은 이중성이 아닌 계층적 초구면군(HHG)의 첫 번째 알려진 예를 구성하여, 분야 내 열린 질문에 답한다.
• 구성된 군 $\Gamma$ 는 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times T_{24}$ 의 균일 기약 격자이며, $ \mathbb{RH}^2 \times \mathcal{T}_{24}$ 위에서 자유롭게 코컴팩트하게 작용하므로 $ \mathrm{CAT}(0)$ 이다.
• 군 $\Gamma$ 는 평탄한 랭크 2를 가지며, 이는 평탄한 랭크 2인 $ \mathrm{CAT}(0)$ 군 중에서 이중성이 아닌 첫 번째 예이다.
• 비이중성은 모순을 통해 증명된다: 가설적 이중성 구조는 이동 길이 함수 $\tau_{\mathcal{L}}$ 가 교차 수 $\iota(-, \lambda_\Sigma)$ 의 유리수 배여야 함을 암시하지만, 비율 $\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_a)/\tau_{\mathcal{L}}(\gamma_c)$ 는 무리수이다.
• $\Gamma$ 는 이중성이지만 헬리 성질이 아니며, 이는 이 성질을 가진 HHG의 첫 번째 예이다.
• 결과적으로 다음 중 적어도 하나가 거짓임을 시사한다: (1) 모든 HHG는 자동군이며, 또는 (2) 모든 자동군은 이중성이다.