[논문 리뷰] Comment on "Reply to Comment on Time-dependent Quasi-Hermitian Hamiltonians and the Unitary Quantum Evolution"

Alí Mostafazadeh|ArXiv.org|2007. 11. 07.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 준헤르미트 해밀토니안에 대한 M. Znojil의 수식을 비판하며, 계량 연산자가 시간에 의존할 경우 시간 진화는 원래의 $ H $ 가 아니라 효과적인 해밀토니안 $ H' $ 에 의해 결정됨을 보여준다. 주요 결과는 $ H' $ 이 관측 가능하지 않다는 것으로, 이는 계량 연산자가 시간에 의존할 경우 유니터리 진화는 생성자를 관측할 수 없음을 보여주는 정리와 일치한다. 이는 Znojil의 연구에서 '해밀토니안'이라는 용어의 비표준적 사용을 드러낸다.

ABSTRACT

I point out that if one defines the operator $U_R(t)$ as done by M. Znojil in his reply [arXiv:0711.0514v1] to my comment [arXiv:0711.0137v1] and also accepts the validity of the defining relation of $U_R(t)$ as given in his paper [arXiv:0710.5653v1], one finds that the time-evolution of the associated quantum system is not governed by the Schrödinger equation for the Hamiltonian operator $H$ but an operator $H'$ which differs from $H$ if the metric operator is time-dependent. In the latter case this effective Hamiltonian $H'$ is not observable. This is consistent with the conclusions of my paper [Phys. Lett. B 650, 208 (2007), arXiv:0706.1872v2] which allow for unitary time-evolution generated by unobservable Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• Znojil의 시간에 의존하는 준헤르미트 양자역학에서 '해밀토니안'이라는 용어의 개념적 모순을 명확히 하는 것.
• 계량 연산자가 시간에 의존할 경우 Znojil의 프레임워크에서 시간 진화의 생성자가 관측 가능하지 않다는 것을 보여주는 것.
• Znojil의 수식을 시간에 의존하는 계량에서의 유니터리 진화가 생성자를 관측할 수 없다는 기존 정리와 조율하는 것.
• 기준 힐베르트 공간과 시간에 의존하는 내적을 사용하여 역학을 수학적으로 명확하게 재구성하는 것.

제안 방법

• 시간 진화 연산자 $ U_R(t) $ 를 $ |Φ(t)\rangle = U_R(t)|Φ(0)\rangle $ 로 정의하고, 해밀토니안 $ H $ 를 사용한 슈뢰딩거 방정식으로부터 그 시간 진화를 유도한다.
• 관계식 $ U_R(t) = \omega(t)^{-1}u(t)\omega(0) $ 를 사용하며, 여기서 $ u(t) $ 는 $ i\hbar \partial_t u(t) = h(t)u(t) $ 를 만족하고, $ h(t) = \omega(t)H(t)\omega(t)^{-1} $ 이다.
• 실제 시간 진화를 지배하는 효과적인 해밀토니안 $ H'(t) = H(t) - i\hbar \omega(t)^{-1} \partial_t \omega(t) $ 를 유도한다.
• 시간에 의존하는 내적 $ \prec\cdot,\cdot\succ = \langle\cdot|\Theta|\cdot\rangle $ 을 가진 물리적 힐베르트 공간에서 $ U(t)^\dagger \Theta(t) U(t) = \Theta(0) $ 의 유니터리 조건을 확립한다.
• 생성자 $ H'(t) = i\hbar [\partial_t U(t)] U(t)^{-1} $ 를 정의하고, $ {H'}^\dagger = \Theta H' \Theta^{-1} + i\hbar \partial_t \Theta \, \Theta^{-1} $ 를 통해 그 비관측 가능성을 보여준다.
• 계량 $ \Theta $ 가 일정할 경우에만 $ H' $ 이 $ \Theta $-사영헤르미트임을 증명하며, 否면 관측 가능하지 않다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Znojil의 수식에서 시간 진화는 원래의 해밀토니안 $ H $ 를 사용한 표준 슈뢰딩거 방정식을 따르는가?
• RQ2 계량 연산자 $ \Theta $ 가 시간에 의존할 경우 진화의 진짜 생성자는 무엇인가?
• RQ3 계량이 시간에 의존할 경우 효과적인 해밀토니안 $ H' $ 은 관측 가능한가?
• RQ4 시간에 의존하는 계량 프레임워크에서 시간 진화의 유니터리성과 생성자의 관측 가능성은 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 Znojil의 '해밀토니안'이라는 용어의 사용이 관측 가능성과 유니터리성에 관한 기존 결과와 어떻게 충돌하는가?

주요 결과

• Znojil의 체계에서 시간 진화는 원래의 $ H(t) $ 가 아니라 효과적인 해밀토니안 $ H'(t) = H(t) - i\hbar \omega(t)^{-1} \partial_t \omega(t) $ 에 의해 지배된다.
• 계량 $ \Theta $ 가 시간에 의존할 경우 효과적인 해밀토니안 $ H' $ 은 $ \Theta $-사영헤르미트가 아니므로 관측 가능하지 않다.
• 계량이 시간에 의존할 경우 유니터리 시간 진화의 생성자는 관측 가능하지 않으며, 이는 이러한 유니터리성에 의해 생성자가 관측 가능하지 않다는 정리와 일치한다.
• 표준적인 '해밀토니안' 개념, 즉 슈뢰딩거 진화의 생성자로써의 해밀토니안은 이 프레임워크에서 관측 가능하지 않은 연산자가 되며, 일반적인 관측 가능성 요구 조건과 모순된다.
• Znojil은 $ H $ 를 '해밀토니안'으로 사용하지만 실제로는 $ H' $ 이 진화를 생성하므로, 이는 개념적 혼란을 일으키는 비표준 용어 사용이다.
• 기준 힐베르트 공간과 시간에 의존하는 내적을 정의함으로써 이 수식을 수학적으로 명확하게 재구성할 수 있으며, 이 경우 $ H' $ 이 진짜 생성자가 된다.