[논문 리뷰] Communication complexity of promise problems and their applications to finite automata

Jozef Gruska, Daowen Qiu외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 30.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특정한 약속 버전의 분리 문제에 대해 고전적 결정론적 모델과 양자 통신 복잡도 사이에 지수적 간극을 확립하며, 양자 유한 오토마타가 고전적 유한 오토마타보다 지수적으로 적은 상태 수로 특정 약속 문제를 해결할 수 있음을 보여준다. 통신 복잡도 기법을 사용하여, 결정론적 단방향 유한 오토마타는 지수적 상태 수가 필요하지만, 단방향 양자 유한 오토마타는 다항식 상태 복잡도로 동일한 문제를 해결할 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

Equality and disjointness are two of the most studied problems in communication complexity. They have been studied for both classical and also quantum communication and for various models and modes of communication. Buhrman et al. [Buh98] proved that the exact quantum communication complexity for a promise version of the equality problem is ${\bf O}(\log {n})$ while the classical deterministic communication complexity is $n+1$ for two-way communication, which was the first impressively large (exponential) gap between quantum and classical (deterministic and probabilistic) communication complexity. If an error is tolerated, both quantum and probabilistic communication complexities for equality are ${\bf O}(\log {n})$. However, even if an error is tolerated, the gaps between quantum (probabilistic) and deterministic complexity are not larger than quadratic for the disjointness problem. It is therefore interesting to ask whether there are some promise versions of the disjointness problem for which bigger gaps can be shown. We give a positive answer to such a question. Namely, we prove that there exists an exponential gap between quantum (even probabilistic) communication complexity and classical deterministic communication complexity of some specific versions of the disjointness problem. Klauck [Kla00] proved, for any language, that the state complexity of exact quantum/classical finite automata, which is a general model of one-way quantum finite automata, is not less than the state complexity of an equivalent one-way deterministic finite automata (1DFA). In this paper we show, using a communication complexity result, that situation may be different for some promise problems. Namely, we show for certain promise problem that the gap between the state complexity of exact one-way quantum finite automata and 1DFA can be exponential.

연구 동기 및 목표

• 기존에 알려진 것보다 더 큰 통신 복잡도 간극을 보일 수 있는 분리 문제의 약속 버전이 양자 모델과 고전 모델 간에 존재하는지 조사하기 위해.
• 이러한 간극이 고전적 모델과 양자 모델 간의 유한 오토마타 상태 복잡도에 미치는 영향을 탐색하기 위해.
• 양자 유한 오토마타가 특정 약속 문제를 고전적 유한 오토마타보다 극적으로 적은 상태 수로 해결할 수 있음을 보여주기 위해.
• 통신 복잡도 결과와 단방향 양자 유한 오토마타(1QCFA)의 상태 복잡도 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• 입력은 서로소($\sum x_i \wedge y_i = 0$) 또는 큰 교집합을 가진다($\lambda n \leq \sum x_i \wedge y_i \leq (1-\lambda)n$), $\lambda = \frac{1}{4}$인 약속 문제 $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$를 정의한다.
• 양자 프로토콜이 진폭 강화와 위상 추정 기법을 활용함으로써, $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$의 양자 통신 복잡도가 $O(\log n)$임을 증명한다.
• 피로 집합 논증 또는 유사한 조합적 방법을 사용하여, $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$의 결정론적 통신 복잡도에 대해 $\Omega(n)$의 하한을 설정한다.
• 입력 $x\#$를 읽은 후 상태를 전송하고, $x\#y\#$를 읽은 후 상태를 전송하며, $x$를 再읽은 후 수용 여부를 확인하는 프로토콜을 구성함으로써, $2n$개의 양자 기저 상태와 $O(n)$개의 고전적 상태를 가진 단방향 양자 유한 오토마타(MO-1QCFA)를 구성한다.
• 오토마타의 행동을 바탕으로 통신 프로토콜을 유도한다: 앨리스는 $x\#$를 읽은 후 자신의 상태를 전송하고, 박브는 $x\#y\#$를 읽은 후 자신의 상태를 전송하며, 앨리스는 $x$를 다시 읽은 후 수용 여부를 확인한다.
• 결정론적 프로토콜의 크기 하한을 도출하기 위해, 이를 결정론적 통신 복잡도와 연관시켜, $N \in 2^{\Omega(n)}$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 문제의 약속 버전이 양자 모델과 고전 모델 간에 기존의 것보다 더 큰 제곱 이상의 통신 복잡도 간극을 보일 수 있는가?
• RQ2 양자 통신 복잡도가 로그 수준이고 고전적 결정론적 통신 복잡도가 선형 수준인 약속 문제가 존재하는가?
• RQ3 양자 유한 오토마타가 약속 문제에 대해 고전적 유한 오토마타보다 지수적 상태 복잡도 우월성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 약속 문제의 통신 복잡도와 단방향 양자 유한 오토마타의 상태 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 통신 복잡도에서의 지수적 간극 존재가, 유한 오토마타의 상태 복잡도에서도 지수적 간극을 암시하는가?

주요 결과

• $\lambda = \frac{1}{4}$일 때, $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$의 양자 통신 복잡도는 최대 $3 + 2\log n$이며, 이는 $O(\log n)$이다.
• $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$의 결정론적 통신 복잡도는 $\Omega(n)$이며, 하한은 $0.0073n - 1$이다.
• MO-1QCFA는 $2n$개의 양자 기저 상태와 $O(n)$개의 고전적 상태를 사용하여 약속 문제 $A_D(n)$을 한쪽 오류 확률 $\frac{1}{4}$로 해결할 수 있다.
• 동일한 약속 문제 $A_D(n)$를 해결하기 위해 필요한 모든 1DFA는 최소 $2^{\Omega(n)}$개의 상태를 가져야 하며, 이는 지수적 상태 복잡도 간극을 보여준다.
• 통신 복잡도 하한은 $\text{DISJ}_{\lambda}^\prime$에 대한 결정론적 프로토콜이 $\Omega(n)$비트가 필요로 하며, 반면 양자 프로토콜은 오직 $O\left(\log n\right)$비트만 필요로 함을 암시한다.
• MO-1QCFA의 구성 및 측정 하에서의 수용 행동을 통해, 수용 확률은 참 인스턴스에서는 1이며, 거짓 인스턴스에서는 최대 $\frac{1}{4}$임을 확인하여 한쪽 오류를 보장한다.