[논문 리뷰] On Arthur Merlin Games in Communication Complexity

Hartmut Klauck|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 03.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 새로운 '일측 불일치도' 방법과 패턴 행렬 기법을 사용하여 내적과 상호배타성과 같은 기본 문제들의 QMA-통신 복잡도에 대해 새로운 하한을 확립한다. 또한 양자 멜린-아서 프로토콜이 공비결정성 또는 상호작용을 효율적으로 시뮬레이션할 수 없음을 보여주며, QMA는 MA보다 엄격히 강력하지만 여전히 통신 복잡도에서 co-NP를 포괄하지 못함을 입증한다.

ABSTRACT

We show several results related to interactive proof modes of communication complexity. First we show lower bounds for the QMA-communication complexity of the functions Inner Product and Disjointness. We describe a general method to prove lower bounds for QMA-communication complexity, and show how one can 'transfer' hardness under an analogous measure in the query complexity model to the communication model using Sherstov's pattern matrix method. Combining a result by Vereshchagin and the pattern matrix method we find a communication problem with AM-communication complexity $O(\log n)$, PP-communication complexity $Ω(n^{1/3})$, and QMA-communication complexity $Ω(n^{1/6})$. Hence in the world of communication complexity noninteractive quantum proof systems are not able to efficiently simulate co-nondeterminism or interaction. These results imply that the related questions in Turing machine complexity theory cannot be resolved by 'algebrizing' techniques. Finally we show that in MA-protocols there is an exponential gap between one-way protocols and two-way protocols (this refers to the interaction between Alice and Bob). This is in contrast to nondeterministic, AM-, and QMA-protocols, where one-way communication is essentially optimal.

연구 동기 및 목표

• 통신 복잡도에서 QMA, AM, MA의 상대적 능력에 대한 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 내적과 상호배타성 함수의 QMA-통신 복잡도에 하한을 설정하기 위해.
• 비상호작용 양자 증명 체계가 상호작용 또는 공비결정적 프로토콜을 시뮬레이션할 수 있는지 조사하기 위해.
• 알제브라이제이션 기법이 통신 복잡도 클래스를 분리하는 데서의 한계를 분석하기 위해.
• 일방향과 양방향 MA-프로토콜 간의 지수적 차이를 보여주기 위해.

제안 방법

• QMA-통신 복잡도에 특화된 새로운 하한 기법인 '일측 불일치도'를 도입한다.
• Sherstov의 패턴 행렬 기법을 적응하여 쿼리 복잡도에서 통신 복잡도로의 경직성 전이를 수행한다.
• Vereshchagin의 결과를 활용하여 AM 복잡도는 낮고 PP 복잡도는 높은 문제에서 QMA 하한을 도출한다.
• 일방향 프로토콜의 오차를 제한하기 위해 신중히 구성된 분포 ν 하에서 확률적 분석을 적용한다.
• 거리가 높은 이진 코드에 대한 조합적 추론을 사용하여 일방향 직사각형의 오차를 제한한다.
• 기여도가 제한된 1-입력은 제거됨으로써 프로토콜 직사각형 내 고오차 영역을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QMA-통신 복잡도는 통신 복잡도에서 co-NP를 효율적으로 포괄할 수 있는가?
• RQ2 AM-통신 복잡도가 O(log n)이지만 QMA-통신 복잡도가 ω(n^{1/6})인 문제가 존재하는가?
• RQ3 일방향 MA-프로토콜은 양방향 MA-프로토콜보다 지수적으로 더 약한가?
• RQ4 알제브라이제이션 기법은 통신 복잡도에서 AM, QMA, PP 간의 분리를 해결하는 데 충분한가?
• RQ5 상호배타성의 QMA-통신 복잡도가 Ω(n^{1/3}) 이하로 바운드될 수 있는가?

주요 결과

• 상호배타성의 QMA-통신 복잡도는 Ω(n^{1/3})이며, 이는 통신 모델에서 co-NP가 QMA에 포함되지 않음을 보여준다.
• 모듈로 2 내적의 QMA-통신 복잡도는 Ω(√n)이며, 이 하한은 본질적으로 날카롭다.
• AM-통신 복잡도가 O(log n), PP-통신 복잡도가 Ω(n^{1/3}), QMA-통신 복잡도가 Ω(n^{1/6})인 부분 함수 f 가 존재한다.
• 어려운 문제에 대한 일방향 MA-프로토콜은 Ω(n)의 통신을 요구하며, 이는 일방향과 양방향 MA-프로토콜 간의 지수적 차이를 의미한다.
• 결과는 알제브라이제이션에 의존하는 기법이 튜링 기계 세계에서 AM과 PP, QMA와 co-NP 간의 관계를 해결하는 데는 충분하지 않음을 암시한다.
• 일측 불일치도 방법은 Disjointness와 Inner Product 이외의 함수에도 적용 가능한 QMA-통신 복잡도 하한을 증명하기 위한 일반적 프레임워크를 제공한다.