[논문 리뷰] Compact convex structure of measurements and its applications to simulability, incompatibility, and convex resource theory of continuous-outcome measurements

Yui Kuramochi|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 10.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 56인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 순서 단위 바나흐 공간 $E$의 연속 결과 측정에 대해 후처리 동치 관계와 약한 위상의 개념을 이용하여 일반 probabilistic theory(GPT) 내에서 연속 결과 측정을 위한 컴팩트한 볼록 구조를 수립한다. 이는 동시성과 비가역성 분석을 위한 통합된 프레임워크를 가능하게 하며, 비가역성의 강도 측정치와 비가역성의 강도 측정치가 각각 시스템 상태 식별 확률의 최적 비율과 정확히 일치함을 증명한다. 이는 유한 차원 양자 이론 결과를 무한 차원 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

We introduce the post-processing preorder and equivalence relations for general measurements on a possibly infinite-dimensional general probabilistic theory described by an order unit Banach space $E$ with a Banach predual. We define the measurement space $\mathfrak{M}(E)$ as the set of post-processing equivalence classes of continuous measurements on $E .$ We define the weak topology on $\mathfrak{M} (E)$ as the weakest topology in which the state discrimination probabilities for any finite-label ensembles are continuous and show that $\mathfrak{M}(E)$ equipped with the convex operation corresponding to the probabilistic mixture of measurements can be regarded as a compact convex set regularly embedded in a locally convex Hausdorff space. We also prove that the measurement space $\mathfrak{M}(E) $ is infinite-dimensional except when the system is $1$-dimensional and give a characterization of the post-processing monotone affine functional. We apply these general results to the problems of simulability and incompatibility of measurements. We show that the robustness measures of unsimulability and incompatibility coincide with the optimal ratio of the state discrimination probability of measurement(s) relative to that of simulable or compatible measurements, respectively. The latter result for incompatible measurements generalizes the recent result for finite-dimensional quantum measurements. Throughout the paper, the fact that any weakly$\ast$ continuous measurement can be arbitrarily approximated in the weak topology by a post-processing increasing net of finite-outcome measurements is systematically used to reduce the discussions to finite-outcome cases.

연구 동기 및 목표

• 주어진 순서 단위 바나흐 공간 $E$의 연속 측정에 대한 후처리 동치 클래스의 집합인 측정 공간 $τ(E)$를 정의하는 것.
• 모든 유한 레이블 집합에 대해 상태 식별 확률가 연속이 되도록 하는 $τ(E)$ 위에 약한 위상을 도입하는 것.
• 확률적 혼합에 대해 $τ(E)$가 컴팩트한 볼록 집합이 되며, 국소적으로 볼록한 하우스도르프 공간에 포함됨을 보이는 것.
• 후처리에 대해 단조적인 아핀 함수를 특성화하고, $τ(E)$가 1차원 시스템 외에는 무한 차원임을 증명하는 것.
• 상태 식별 성능에서 유도된 강도 측정치를 활용하여 동시성과 비가역성을 정량화하는 프레임워크를 적용하는 것.

제안 방법

• 측정 간 후처리 순서관계와 동치관계를 정의하여, 고전적 후처리를 통해 상호 변환 가능한 측정을 식별하는 것.
• 후처리 동치 관계에 대한 연속 측정의 몫으로 측정 공간 $τ(E)$를 구성하는 것.
• 모든 유한 레이블 집합에 대해 상태 식별 확률가 연속이 되도록 하는 가장 약한 위상을 $τ(E)$에 부여하는 것.
• 약한* 연속성과 유한 결과 측정으로의 근사화를 이용하여, 확률적 혼합에 대해 $τ(E)$가 컴팩트한 볼록 집합임을 증명하는 것.
• 모든 약한* 연속 측정이 유한 결과 측정의 후처리 증가 넷으로 근사 가능하다는 사실을 이용하여, 무한 차원 문제를 유한 차원 사례로 환원하는 것.
• 이중 정리와 쌍대성 원리를 적용하여 후처리에 대해 단조적인 아핀 함수를 특성화하고, 단조 함수의 원소 집합의 쌍대 코너와 연관짓는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 결과 공간이 없는 상황에서 일반 probabilistic theory 내 연속 결과 측정의 공간이 어떻게 컴팩트하고 볼록하게 구조화될 수 있는가?
• RQ2 비동시성의 강도와 비가역성의 강도가 각각 시스템 상태 식별 확률의 최적 비율과 어떻게 정확히 연관되는가?
• RQ3 유한 차원 양자 시스템에서의 비가역성 강도가 어떻게 무한 차원 GPT로 일반화되는가?
• RQ4 측정 공간 $τ(E)$가 상태 식별 확률가 연속이 되도록 위상화될 수 있으며, 이는 컴팩트하고 볼록한가?
• RQ5 유한 결과 측정으로의 약한* 연속 근사가 연속 측정의 분석을 유한 차원 사례로 환원하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $τ(E)$는 확률적 혼합에 대해 컴팩트한 볼록 집합이며, 국소적으로 볼록한 하우스도르프 공간에 정상적으로 포함되며, 상태 식별 확률가 연속이 되도록 하는 약한 위상으로 구성된다.
• 비동시성 강도 측정치는 측정의 상태 식별 확률과 임의의 동시 가능한 측정의 상태 식별 확률 간의 최적 비율과 정확히 일치한다.
• 비가역성 강도 측정치는 비가역 측정의 상태 식별 확률과 임의의 가용 쌍의 상태 식별 확률 간의 최적 비율과 일치하며, 이는 유한 차원 양자 이론 결과를 일반화한다.
• $τ(E)$는 시스템이 1차원이 아닐 경우 무한 차원이며, 이는 고차원 GPT 내 연속 결과 측정의 풍부함을 반영한다.
• 후처리에 대해 단조적인 아핀 함수는 이중 정리에 의해 단조 함수 집합의 쌍대 코너에 의해 완전히 특성화된다.
• 모든 약한* 연속 측정은 상태 식별 확률이 연속이 되는 약한 위상에서 유한 결과 측정의 후처리 증가 넷으로 근사 가능하며, 이는 무한 차원 문제를 유한 차원 문제로 환원하는 데 기여한다.