[논문 리뷰] Compactification of the Bruhat-Tits building of PGL by lattices of smaller rank

Annette Werner|ArXiv.org|2001. 04. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 V의 비자명한 부분공간 W ⊂ V에 대한 PGL(W)의 브라하트-티츠 빌딩을 경계로 첨부하여 PGL(V)의 브라하트-티츠 빌딩에 대한 새로운 콪 pactification을 구축한다. 이 구성은 콤팩트 부분군과 콤팩트화된 아파트의 곱의 몫을 사용하여, 콤팩트하고 콕팅가능한 G-공간을 만들어내며, 이 공간은 V의 임의의 계수의 R-격자에 대한 동치류와 정점들을 일치시킨다.

ABSTRACT

We construct a compactification of the Bruhat-Tits building associated to the group PGL(V) by attaching all the Bruhat-Tits buildings of PGL(W) for non-trivial subspaces W of V as a boundary.

연구 동기 및 목표

• PGL(V)의 브라하트-티츠 빌딩에 대한 새로운 콤팩트화를 구성하여 전순위 격자들을 초월하는 것.
• 격자 기반의 경계 구조를 사용하여 무모프의 p진 슈타이너 균형화를 고차원으로 일반화하는 것.
• 보렐-세르와 랑도브그의 구성과는 다를 만한 기하학적 콤팩트화를 제공하여 명확한 위상수학적 및 군론적 성질을 확보하는 것.
• 콤팩트화된 공간의 정점들과 V 내의 임의의 양의 계수의 R-격자에 대한 동치류 사이에 자연스러운 일대일 대응을 설정하는 것.

제안 방법

• 최대 토러스 T에 대응하는 단일 아파트 Λ를, T의 몫으로부터 유도된 낮은 차원의 아파트들을 첨부하여 콤팩트화한다.
• N을 T의 정규화군으로 하여, 콤팩트화된 아파트 위에 연속적인 N-작용을 정의한다.
• U₀^∧ × Λ̄의 몫으로서 전역 콤팩트화 X̄를 구성하며, 동치 관계 (g,x) ~ (h,y)는 ∃n ∈ N such that nx = y and g⁻¹hn ∈ Pₓ를 만족한다.
• 각 점 x ∈ X̄에 대해 G의 부분군 Pₓ ⊆ G를 정의하고, 이러한 군들에 대한 혼합 브라하트 분해를 증명한다.
• 부분공간과 격자 기저 간의 동형사상을 사용하여, 각 PGL(W) 빌딩에서 X̄로의 잘 정의된 사상 j_W를 정의한다.
• 모든 such j_W의 합집합이 X̄로의 G-equivariant, 연속적, 전사적, 단사적인 사상임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 V 내의 더 낮은 계수의 격자를 사용하여 PGL(V)의 브라하트-티츠 빌딩을 어떻게 콤팩트화할 수 있는가?
• RQ2 모든 진부분공간 W ⊂ V에 대한 PGL(W) 빌딩을 포함하는 콤팩트화의 위상수학적 및 군론적 구조는 어떠한가?
• RQ3 이 콤팩트화는 경계 행동과 광선 및 직선의 수렴성 측면에서 보렐-세르와 랑도브그의 콤팩트화와 어떻게 다를까?
• RQ4 콤파クト화된 공간의 정점들이 V 내의 임의의 양의 계수의 R-격자에 대한 동치류와 자연스럽게 일치할 수 있는가?
• RQ5 원래 빌딩의 작용을 연장하는 자연스러운 G-작용이 이 콤팩트화에 존재하는가?

주요 결과

• 콤팩트화된 공간 X̄는 위상수학적으로 콤팩트하고 콕팅가능하다.
• X̄는 원래 빌딩 X 위에 자연스러운 작용을 연장하는 연속적이고 G-equivariant한 작용을 지닌다.
• 원래 빌딩 X는 X̄의 열린 밀집 부분집합으로 포함된다.
• X̄의 정점들은 V 내의 임의의 양의 계수의 R-격자에 대한 동치류와 G-equivariant한 전단사 대응을 가진다.
• 콤팩트화 X̄는 V의 영이 아닌 부분공간 W ⊂ V에 대한 모든 브라하트-티츠 빌딩 X(PGL(W))의 disjoint 합집합과 위상동형이다.
• 이 구성은 중심이 되는 몫 구성에 필수적인, 안정자 부분군 Pₓ에 대한 혼합 브라하트 분해를 도출한다.