[논문 리뷰] Compactification of the space of Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds with bounded total extrinsic curvature and volume

Jingyi Chen, Micah Warren|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n$에서의 폐포, 임bedded Hamiltonian stationary Lagrangian 부분다양체의 수열에 대해 일관된 부피와 총 외재 곡률($L^n$-노름으로 표현된 제2 기본형식)을 갖는 경우의 컴팩턴스 정리를 수립한다. 이러한 조건 하에서, 부분수열이 유한한 수의 특이점에서 벗어나면 $C^k$ 위상에서 국소적으로 균일하게 수렴하며, Hamiltonian stationary Lagrangian $n$-varifold로 수렴한다. 이는 점이거나 가능한 점 특이점을 가진 임베딩된 부분다양체일 수 있다. 한편, 특이점 집합이 작을 경우 varifolds에 대한 확장 결과를 통해 극한이 $ℝ^n$에서 Hamiltonian stationary임을 보인다.

ABSTRACT

For a sequence of immersed connected closed Hamiltonian stationary Lagrangian submaniolds in $\mathbb{C}^{n}$ with uniform bounds on their volumes and the total extrinsic curvatures, we prove that a subsequence converges either to a point or to a Hamiltonian stationary Lagrangian $n$-varifold locally uniformly in $C^{k}$ for any nonnegative integer $k$ away from a finite set of points, and the limit is Hamiltonian stationary in ${\mathbb{C}}^{n}$. We also obtain a theorem on extending Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds $L$ across a compact set $N$ of Hausdorff codimension at least 2 that is locally noncollapsing in volumes matching its Hausdorff dimension, provided the mean curvature of $L$ is in $L^{n}$ and a condition on local volume of $L$ near $N$ is satisfied.

연구 동기 및 목표

• 부피와 총 외재 곡률에 대해 일관된 경계를 갖는 $ℝ^n$ 내 폐포, 임베딩된 Hamiltonian stationary Lagrangian 부분다양체의 수열에 대해 컴팩턴스 결과를 수립하기.
• 이러한 수열이 유한한 수의 특이점에서 벗어나면 $C^k$ 위상에서 국소적으로 균일하게 Hamiltonian stationary Lagrangian $n$-varifold로 수렴함을 증명하기.
• 고립된 특이점을 가질 수 있는 varifolds로의 Hamiltonian stationarity 개념을 확장하여, 극한이 $ℝ^n$에서 Hamiltonian stationary임을 보여주기.
• Hausdorff codimension이 2 이상인 컴팩트 집합을 중심으로 Hamiltonian stationary Lagrangian 부분다양체의 제거 가능한 특이성 정리를 제공하기, 부피 및 곡률 제어 조건 하에서.

제안 방법

• Lagrangian phase를 지배하는 4차 타입 타원형 미분방정식에서 유도된 곡률 추정을 활용하여, 제2형식을 2차 연산자로 분해하기.
• Lagrangian 평면 위에서의 그래픽 표현에 대해 Arzelà-Ascoli 정리를 적용하여 $C^k$ 수렴하는 부분수열 추출하기.
• 반복적인 2진 분할과 콘 타입 추정을 통해 균일한 그래픽성과 곡률 경계를 갖는 공의 유한 커버를 구성하기.
• 제2 기본형식의 $L^n$-노름을 곡률 및 부피 추정의 핵심 제어 매개변수로 사용하기.
• 특이점 제거 정리(정리 4.1)를 적용하여, codimension $≥q 2$인 컴팩트 집합을 중심으로 Hamiltonian stationarity를 확장하기, 국소 부피 제어 조건 하에서.
• 극한 varifold가 모든 컴팩트 지지 집합을 갖는 미분 가능 함수 $f$에 대해 $\int_{\mathbb{R}^{2n}} \langle J\nabla f, \mathcal{H} \rangle \, d\mu_L = 0$ 조건을 만족함을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부피와 총 외재 곡률이 유계인 $ℝ^n$ 내 폐포, 임베딩된 Hamiltonian stationary Lagrangian 부분다양체의 수열은 의미 있는 기하학적 의미에서 컴팩트화될 수 있는가?
• RQ2 Hausdorff codimension이 2 이상인 컴팩트 특이 집합을 중심으로 Hamiltonian stationary Lagrangian 부분다양체는 어떤 조건에서 확장될 수 있는가?
• RQ3 특이점이 존재할 경우에도 이러한 수열의 극한은 반드시 $ℝ^n$에서 Hamiltonian stationary인가?
• RQ4 특정 유한 개의 점에서 제외된 영역에서 이러한 수열의 수렴은 $C^k$ 위상에서 제어 가능한가?
• RQ5 제2 기본형식의 $L^n$-노름은 수열의 정규성과 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 부피와 총 외재 곡률이 일관되게 유계인 $ℝ^n$ 내 폐포, 임베딩된 Hamiltonian stationary Lagrangian 부분다양체의 수열에 대해, 유한한 수의 특이점에서 벗어나면 $C^k$ 위상에서 국소적으로 균일하게 수렴하는 부분수열이 존재한다.
• 극한은 Hamiltonian stationary Lagrangian $n$-varifold이며, 고립된 특이점을 가진 임베딩된 부분다양체 또는 단일 점에 지지될 수 있다.
• 극한 varifold는 일반화된 의미에서 $ℝ^n$에서 Hamiltonian stationary이며, 모든 $f \in C_0^\infty(\mathbb{R}^{2n})$에 대해 $\int_{\mathbb{R}^{2n}} \langle J\nabla f, \mathcal{H} \rangle \, d\mu_L = 0$ 적분 조건을 만족한다.
• 극한의 지지 집합의 폐포는 특이점이 존재하더라도 연결되어 있다.
• 전체 수열이 한 점으로 붕괴되지 않는 한 극한은 비어있지 않다. 이는 정규화 또는 부피 제어 조건에 의해 차단된다.
• 확장 결과(정리 4.1)는 $ℝ^n \setminus N$에서 Hamiltonian stationary인 Lagrangian 부분다양체가 $N$이 컴팩트하고 Hausdorff codimension $≥q 2$이며 국소 부피 제어 조건이 만족되면, $ℝ^n$ 전체에서 Hamiltonian stationary임을 보장한다.