[논문 리뷰] Existence of hypersurfaces with prescribed mean curvature I - Generic min-max

Xin Zhou, Jonathan J. Zhu|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 39인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 차원 $3 \leq n+1 \leq 7$인 닫힘 리만다이만다에서 주어진 평균곡률 $h$를 갖는 비자명하고 부드럽고 닫힌 초곡면의 존재성을 일반적인 최소-최대 구성 방법을 통해 증명한다. 일반적인 열린 밀도 집합인 부드러운 함수들—모르스 함수 및 해석 함수 포함—에 대해, 이 방법은 다중도 1인 부드럽고 거의 임베딩된 초곡면 또는 정수 다중도를 갖는 최소 초곡면을 생성하며, 이는 $h$가 부호를 갖는다는 조건 없이도 성립한다.

ABSTRACT

We prove that, for a generic set of smooth prescription functions $h$ on a closed ambient manifold, there always exists a nontrivial, smooth, closed hypersurface of prescribed mean curvature $h$. The solution is either an embedded minimal hypersurface with integer multiplicity, or a non-minimal almost embedded hypersurface of multiplicity one. More precisely, we show that our previous min-max theory, developed for constant mean curvature hypersurfaces, can be extended to construct min-max prescribed mean curvature hypersurfaces for certain classes of prescription function, including smooth Morse functions and nonzero analytic functions. In particular we do not need to assume that $h$ has a sign.

연구 동기 및 목표

• 닫힘 리만다이만다에서 비정수 주어진 평균곡률(의사평균곡률, PMC)을 갖는 닫힌 초곡면의 전역 존재 문제를 해결하기 위해.
• 정수 평균곡률 초곡면에 대한 최소-최대 이론을 더 일반적인 비정수 함수 $h$로 확장하기 위해.
• 일반적인 부드러운 함수들의 집합 $h$에 대해, 비자명하고 부드럽고 거의 임베딩된 PMC 초곡면이 존재함을 증명하기 위해.
• 비정수 $h$의 추가적인 복잡성에도 불구하고, 정수 평균곡률의 경우와 동일한 정규성—특히 코디멘션-1 접촉 집합—을 유지함을 보여주기 위해.
• 직접 $\mathcal{A}^h$-함수를 최소화하는 데 실패할 경우, $\emptyset$ 또는 $M$과 같은 자명한 임계점들을 피하는 강력한 최소-최대 프레임워크를 사용하여 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 정수 평균곡률 초곡면에 대한 최소-최대 이론을 주어진 평균곡률 설정으로 확장하기 위해, $\mathcal{A}^h = \text{Area} - \text{Vol}_h$를 관련 함수로 간주한다.
• 정수 컨베이어스 공간에서 $\mathbf{F}$-거리와 평탄한 위상 구조를 사용하여 최소화 수열의 수렴성과 정규성을 분석한다.
• Caccioppoli 집합 $\mathcal{C}(M)$의 스위프아웃에 대한 호모토피 클래스를 구성하여, $\mathbf{F}$-거리 하에서 연속성을 확보한다.
• 경로를 따라 $\mathcal{A}^h$-함수를 제어하기 위해 보조정리(A.1)를 적용하여, 변형 과정 동안 함수와 질량에 대한 균일한 유계성을 확보한다.
• 벡터장 $\tilde{X}_i(x)$를 통한 유량 기반 보간 과정을 사용하여 초기 구성 요소를 변형하며, $\mathcal{A}^h$-값이 원래 값과 가까운 상태를 유지한다.
• 모든 함수 중에서 $h$의 영점이 유한 차수에서 평균곡률가 사라지는 모스 함수의 집합 $\mathcal{S}$ 가 $C^\infty(M)$에서 열려 있고 밀도가 높다는 사실을 활용하여 결과의 일반성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소-최대 방법을 비정수 주어진 평균곡률 $h$를 갖는 닫힌 초곡면을 구성하는 데로 확장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 종류의 주어진 함수 $h$에 대해 최소-최대 구성이 비자명하고 부드럽고 거의 임베딩된 PMC 초곡면을 생성하는가?
• RQ3 비정수 $h$의 경우에도 정수 평균곡률의 경우와 동일하게, 정규성—예를 들어 코디멘션-1 접촉 집합—이 유지되는가?
• RQ4 $h$의 부호가 변화하더라도, 일반적인 $h$의 집합에 대해 이러한 초곡면의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ5 직접 최소화가 실패할 경우, 최소-최대 방법을 통해 $\mathcal{A}^h$-함수의 비자명한 임계점이 존재하는가?

주요 결과

• 부드러운 주어진 함수 $h$의 일반적인 열린 밀도 집합 $\mathcal{S} \subset C^\infty(M)$에 대해, 비자명하고 부드럽고 닫힌, 거의 임베딩된 초곡면 $\Sigma^n$이 주어진 평균곡률 $h$를 갖는다.
• 구성된 초곡면 $\Sigma$는 정수 다중도를 갖는 임베딩된 최소 초곡면이거나, 다중도 1인 비최소의 거의 임베딩 초곡면이며, 접촉 집합의 코디멘션은 1이다.
• $\mathcal{S}$ 는 영점이 평균곡률가 유한 차수에서 사라지는 부드러운 모스 함수들과, 실해석다양체 위의 영이 아닌 해석함수를 포함한다.
• 최소-최대 구성은 $\emptyset$ 또는 $M$과 같은 자명한 임계점을 효과적으로 피하여 해의 비자명성을 보장한다.
• 비정수 $h$의 경우에도 정수 평균곡률의 경우와 동일한 정규성 결과—특히 코디멘션-1 접촉 집합—이 유지된다.
• 증명은 $\mathcal{A}^h$-값과 $\mathbf{F}$-수렴성을 유지하는 새로운 보간 정리와 유량 기반 변형 기법에 의존한다.