[논문 리뷰] Compactly supported cohomology and nearby cycle cohomology of open Shimura varieties of PEL type

Naoki Imai, Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$에서 악성 감소를 가질 수 있는 열린 PEL 유형의 쇼이마 다양체에 대해, 컴팩트 지지 $ι$-adic 코호몰로지와 가까운 사이클 코호몰로지의 $G(\mathbb{Q}_p)$-cuspidal 부분이 일치함을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 코호몰로지 군 간의 모든 차이가 $p$에서 비- cuspidal임을 보여주며, 이는 슈퍼시피달 자동형 양식에 부착된 갈루아 표현을 연구하기 위해 가까운 사이클 코호몰로지를 사용할 수 있음을 의미한다.

ABSTRACT

In this paper, we compare two cohomology groups associated to Shimura varieties of PEL type, which are not proper over the base. One is the compactly supported l-adic cohomology, and the other is the nearby cycle cohomology, namely, the compactly supported cohomology of the nearby cycle complex for the canonical integral model of the Shimura variety over Z_p. We prove that the G(Q_p)-cuspidal part of these cohomology groups are the same, where G denotes the reductive algebraic group naturally attached to the PEL datum. Some applications to unitary Shimura varieties are also given.

연구 동기 및 목표

• 열린 PEL 유형의 쇼이마 다양체에 대해 컴팩트 지지 $\ell$-adic 코호몰로지와 가까운 사이클 코호몰로지를 비교하는 것.
• 정수 모델이 $p$에서 악성 감소를 가질 경우 코호몰로지 위의 갈루아 작용을 이해하는 것.
• 코호몰로지의 $G(\mathbb{Q}_p)$-cuspidal 부분이 가까운 사이클 구성에 의해 보존됨을 확립하는 것.
• 비콤팩트 경우에 국한된 국지 Langlands 대응을 연구하는 데 가까운 사이클 코호몰로지를 도구로 확장하는 것.
• 유니타리 쇼이마 다양체와 토프션 계수 체계에 대한 적용을 제공하는 것.

제안 방법

• 근처 사이클 함자를 사용하여 $\mathbb{Z}_p$ 위의 정수 모델의 일반 섹션과 특수 섹션의 코호몰로지를 연결하는 것.
• 두 코호몰로지 군 사이의 자연스러운 사상에 의해 컴팩트 지지 코호몰로지와 가까운 사이클 코호몰로지의 $G(\mathbb{Q}_p)$-형태 성분을 비교하는 것.
• Hochschild-Serre 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 특수 섹션의 코호몰로지를 자동형 표현의 관점에서 분석하는 것.
• Mantovan의 공식과 국지 모델 이론을 사용하여 코호몰로지를 $J(\mathbb{Q}_p) = D^\times \times \mathbb{Q}_p^\times$의 표현과 연결하는 것.
• 국지 모델의 코호몰로지에서 슈퍼시피달 성분이 $n-1$차수 외에는 0이 되는 것을 이용하여 코호몰로지의 슈퍼시피달 부분을 분석하는 것.
• Dat와 Shin의 기법을 사용하여 $\ell$-모듈로 계수로의 확장을 도모하며, 특히 비중간 차수에서 슈퍼시피달 부분의 항등성과 0이 되는 성질을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가까운 사이클 코호몰로지는 일반 섹션의 컴팩트 지지 코호몰로지와 같은 $G(\mathbb{Q}_p)$-cuspidal 표현을 포착하는가?
• RQ2 쇼이마 다양체가 $p$에서 악성 감소를 가질 경우 코호몰로지 위의 갈루아 작용은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 가까운 사이클 코호몰로지를 사용하여 비콤팩트 쇼이마 다양체에 대한 국지 Langlands 대응을 연구할 수 있는가?
• RQ4 특수 섹션이 코호몰로지에서 $G(\mathbb{Q}_p)$-표현 유형을 어떻게 제어하는가?
• RQ5 토션 계수의 경우, 코호몰로지의 슈퍼시피달 부분은 $n-1$ 이외의 차수에서 0이 되는가?

주요 결과

• 컴팩트 지지 코호몰로지와 가까운 사이클 코호몰로지의 $G(\mathbb{Q}_p)$-cuspidal 부분은 서로 동형이다.
• 두 코호몰로지 군 사이의 자연스러운 사상의 핵과 여핵에는 $G(\mathbb{Q}_p)$의 기약 슈퍼시피달 표현이 포함되어 있지 않다.
• 기약 적응 표현 $\Pi$가 $G(\mathbb{A}^\infty)$에 속하고 $\Pi_p$가 슈퍼시피달일 경우, 두 코호몰로지 군의 $\Pi$-형태 성분은 $\operatorname{Gal}(\overline{E}_v/E_v)$-모듈로서 서로 동형이다.
• 토션 계수의 경우, $H^i_c(\operatorname{Sh}_{K^p}, \overline{\mathbb{F}}_\ell)[\pi] = 0$ 이다. 이는 임의의 기약 슈퍼시피달 $\overline{\mathbb{F}}_\ell$-표현 $\pi$에 대해 $i = n-1$ 이외의 경우에만 성립한다.
• 특수 섹션의 코호몰로지의 슈퍼시피달 부분은 $n-1$ 이외의 차수에서 0이 되며, 이는 $H^i_c(\mathcal{M}_{\mathrm{LT},\infty}, \overline{\mathbb{F}}_\ell)$에서 슈퍼시피달 성분이 $i \neq n-1$일 때 0이 되기 때문이다.
• 악성 감소가 존재하는 상황에서도 가까운 사이클 코호몰로지는 슈퍼시피달 자동형 양식에 부착된 올바른 갈루아 표현을 포착한다.