[논문 리뷰] Comparison of Domain Wall Fermion Multigrid Methods

Peter Boyle, Azusa Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 08.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 도메인 월 페르미온에 대해 새로운 재귀 체비셰프 다항식 기반의 멀티그리드 설정 방법을 제안하며, 현대 GPU를 사용할 때 대규모 격자에서 표준 Shamir 도메인 월 페르미온 시스템의 두 배를 풀고 설정하는 데에 레드블랙 예조건화된 공액상승법(Conjugate Gradient) 한 번의 해법보다 더 빠른 성능을 보임을 입증한다. 이 방법은 전통적인 솔버보다 뚜렷한 속도 향상을 이룩하며, 특히 여러 Hasenbusch 행렬식 인자에 걸쳐 설정 비용을 분할 정산할 경우에 더욱 두드러진 성능 향상을 보이며, 카이랄 페르미온에 대한 실용적인 HMC 가속화를 위한 핵심 단계를 마련한다.

ABSTRACT

We present a detailed comparison of several recent and new approaches to multigrid solver algorithms suitable for the solution of 5d chiral fermion actions such as Domain Wall fermions in the Shamir formulation, and also for the Partial Fraction and Continued Fraction overlap. Our focus is on the acceleration of gauge configuration sampling, and a compact nearest neighbour stencil is required to limit the calculational cost of obtaining a coarse operator. This necessitates the coarsening of a nearest neighbour operator to preserve sparsity in coarsened grids, unlike HDCG. We compare the approaches of HDCR and the Multigrid algorithm and also several new hybrid schemes. In this work we introduce a new recursive Chebyshev polynomial based setup scheme. We find that the HDCR approach, can both setup, and solve standard Shamir Domain Wall Fermions faster than a single solve with red-black preconditioned Conjugate Gradients on large volumes and for modern GPU systems such as the Summit supercomputer. This is promising for the acceleration of HMC, particularly if setup costs are shared across multiple Hasenbusch determinant factors. The setup scheme is likely generally applicable to other Fermion actions.

연구 동기 및 목표

• 카이랄 페르미온 작용에 대한 멀티그리드 솔버를 향상시켜 라티스 QCD에서 게이지 구성 샘플링을 가속화하는 것.
• 5차원 카이랄 페르미온 시스템에서 멀티그리드 설정 및 거친 연산자 구성의 높은 계산 비용을 해결하는 것.
• 계산 오버헤드를 제한하기 위해 근접한 이웃자리 스텐실을 갖춘 컴팩트한 멀티그리드 솔버를 효율적이고 확장 가능하게 만들기 위한 것.
• 5차원 도메인 월 및 오버랩 페르미온 작용에 대해 다양한 멀티그리드 접근법, 특히 하이브리드 방법을 평가하고 비교하는 것.
• HMC에서 여러 Hasenbusch 행렬식 인자에 걸쳐 멀티그리드 설정 비용을 분할 정산할 수 있는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 재귀 체비셰프 다항식 기반의 멀티그리드 설정 방법을 제안하여 거친 공간의 부분공간을 효율적으로 생성함으로써 설정 비용을 감소시키면서 수렴 성질을 유지한다.
• 두 가지 주요 접근법을 적용함: 하나는 헤르미트 도메인 월 연산자(Yamaguchi:2016kop)를 통해 굴곡시키는 방식이고, 다른 하나는 윌슨 연산자(Brower:2020xmc)를 통해 굴곡시키는 방식이며, 둘 다 이웃자리 굴곡을 유지하여 흐트러짐을 방지한다.
• 한 단계는 윌슨 연산자 기반 굴곡을, 두 번째 단계는 5차원 도메인 월 연산자 기반 굴곡을 조합한 하이브리드 굴곡 방식을 도입하여 거친 공간 비용을 줄인다.
• 거친 연산자에 대해 컴팩트한 5차원 스텐실을 사용하여 계산 효율성을 유지하고, 제곱된 연산자에서 비롯하는 비국소 스텐실의 높은 비용을 피한다.
• 멀티그리드 사이클에서 스무스러로 GCR 알고리즘을 사용하며, $M^{ar{ar{M}}}$ 및 하이브리드 방식에서 BiCGSTAB보다 뛰어난 성능을 보임을 확인한다.
• 멀티그리드 프레임워크를 Grid 라이브러리에 구현하고, $16^3 \times 32$ 및 $48^3 \times 96$ 테스트 격자를 사용하여 Summit 슈퍼컴퓨터에서 벤치마킹을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀 체비셰프 기반 멀티그리드 설정 방법이 대규모 격자에서 레드블랙 예조건화된 공액상승법보다 도메인 월 페르미온 시스템의 총 계산 비용을 낮출 수 있는가?
• RQ2 근접 이웃 굴곡을 적용했을 때, Yamaguchi:2016kop 및 Brower:2020xmc 접근법이 4차원 $SU(3)$ 게이지 이론에 확장되었을 때 성능가 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ3 HMC에서 여러 Hasenbusch 행렬식 인자에 걸쳐 멀티그리드 설정 비용을 얼마나 분할 정산할 수 있으며, 이를 통해 순수 성능 향상이 가능할까?
• RQ4 비에르미트 멀티그리드 접근법(MG-PV 등)이 표준 솔버를 능가하지 못하는 이유는 무엇이며, 어떤 수정이 이러한 방법을 경쟁 가능하게 만들 수 있는가?
• RQ5 4차원과 5차원 굴곡을 조합한 하이브리드 굴곡 방식은 거친 공간 비용을 줄이면서도 솔버 효율성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• $48^3 \times 96$ 격자에서 제안된 방법은 표준 Shamir 도메인 월 페르미온 시스템의 두 배를 설정하고 해법하는 데에 레드블랙 예조건화된 공액상승법 한 번의 해법보다 더 빠르게 수행된다.
• 하이브리드 굴곡 방식(알고리즘 F)은 미세 행렬 곱셈 횟수를 19,082회에서 2,744회로 줄여 비효율적인 솔버보다 뚜렷한 효율 향상을 이룬다.
• GCR 알고리즘이 $M^{ar{ar{M}}}$ 및 하이브리드 방식에서 BiCGSTAB보다 스무스러로 더 효과적임을 입증한다.
• 설정 비용은 다섯 번째 차원의 시스템이 아니라 4차원 격자 부피에 비례하므로, 카이랄 페르미온의 스케일링 페널티가 감소한다.
• 설정 비용이 여러 Hasenbusch 행렬식 인자에 걸쳐 분할 정산될 경우, 레드블랙 CG보다 순수 성능 향상을 달성하며, HMC 가속화 잠재력이 매우 높음을 시사한다.
• 비에르미트 멀티그리드 접근법(MG-PV)은 높은 거친 공간 비용으로 인해 여전히 비효율적이며, 향후 이러한 방법이 경쟁 가능해지기 위해 추가 개발이 필요함을 시사한다.