[논문 리뷰] Comparison of spectral radii and Collatz-Wielandt numbers for homogeneous maps, and other applications of the monotone companion norm on ordered normed vector spaces

Horst R. Thieme|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 순서가 부여된 노름 공간에서 스펙트럼 반경과 동차이며 순서를 유지하는 사상에 대한 Collatz-Wielandt 수를 비교하기 위해, $ψ(x) = d(x, -X_+)$ 형태의 단조성 동반 반노름을 도입하고 분석한다. 정상 콩을 가정하지 않은 정적 부등식의 비교 원리를 확립하며, 비선형 양의 사상에 대한 점소산성 조건을 증명하고, 가중치 노름을 사용하여 콩 스펙트럼 반경에 대한 경계를 유도함으로써, Kreïn-Rutman 이론을 비선형 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

It is well known that an ordered normed vector space $X$ with normal cone $X_+$ has an order-preserving norm that is equivalent to the original norm. Such an equivalent order-preserving norm is given by \begin{equation} \sharp x \sharp = \max \{ d(x, X_+), d(x, - X_+)\}, \qquad x \in X. \end{equation} This paper explores the properties of this norm and of the half-norm $ψ(x) = d(x,-X_+)$ independently of whether or not the cone is normal. We use $ψ$ to derive comparison principles for the solutions of abstract integral equations, derive conditions for point-dissipativity of nonlinear positive maps, compare Collatz-Wielandt numbers, bounds, and order spectral radii for bounded homogeneous maps and give conditions for a local upper Collatz-Wielandt radius to have a lower positive eigenvector.

연구 동기 및 목표

• 코너 정상성과 무관하게 $ψ(x) = d(x, -X_+)$ 형태의 단조성 동반 반노름을 독립적으로 개발하고 분석하는 것.
• 정상 콩을 가정하지 않은 추상적 적분 부등식의 해에 대한 비교 정리를 수립하는 것.
• 순서가 부여된 바나흐 공간에서 비선형 양의 사상의 점소산성 조건을 유도하는 것.
• 유계 동차 사상에 대해 콩 스펙트럼 반경, 순서 스펙트럼 반경, 그리고 Collatz-Wielandt 수를 비교하는 것.
• 국소 상한 Collatz-Wielandt 반경이 양의 고유벡터를 갖는 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 순서가 부여된 노름 공간에 대해 단조성 동반 반노름 $ψ(x) = d(x, -X_+)$ 과 관련된 노름 $“ x”” = \max\{\psi(x), \psi(-x)\}$ 을 도입한다.
• 정상 콩을 요구하지 않는 조건에서 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ 형태의 적분 부등식의 해에 대한 비교 원리를 $ψ$ 를 이용해 도출한다.
• 스펙트럼 반경이 1보다 작은 조건을 만족하는 비선형 사상 $F: X_+ \to X_+$ 에 대해 점소산성을 증명하기 위해 반노름을 적용한다.
• 무한차원 사상에 대해 콩 스펙트럼 반경 $\mathbf{r}_+(B)$ 를 경계짓기 위해 가중치 노름 $\|B\|_w = \sup_{\|x\|_w=1} \|B(x)\|_w$ 을 사용한다. 특히 $\ell^p$ 또는 $c_0$ 공간에서의 사상에 대해 적용한다.
• 선형 상위 근사자와 스펙트럼 반경 추정을 이용하여 Kreïn-Rutman 정리의 프레임워크를 비선형 사상으로 확장한다.
• 시퀀스 $e^m$ 과 $x^m$ 을 사용하여 경계의 양의성을 테스트함으로써 $cw(B)$ 를 통해 $\mathbf{r}_+(B) > 0$ 를 위한 충분조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추상적 적분 부등식 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ 의 해가 콩 정상성을 가정하지 않더라도 항상 양수일 조건은 무엇인가?
• RQ2 단조성 동반 반노름 $\psi(x)$ 는 동차이며 순서를 유지하는 사상에 대해 스펙트럼 반경과 Collatz-Wielandt 수를 어떻게 비교하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 순서가 부여된 바나흐 공간에서 비선형 양의 사상 $F: X_+ \to X_+$ 가 점소산성을 가지려면 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 국소 상한 Collatz-Wielandt 반경이 양의 고유벡터에 대응하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 무한차원 사상에 대해 가중치 노름 $\|B\|_w$ 는 콩 스펙트럼 반경 $\mathbf{r}_+(B)$ 를 어떻게 추정하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 정리 1.2 는 정상 콩을 가정하지 않더라도, 임의의 순서가 부여된 바나흐 공간에서 모든 $t \in [0,b]$ 에 대해 적분 부등식 $u(t) \geq \int_0^t K(t,s)u(s)ds$ 의 해 $u(t)$ 가 양수임을 보여준다.
• 정리 1.3 은 $F$ 가 스펙트럼 반경이 1보다 작은 선형 상위 근사 조건을 만족할 경우, $F$ 는 점소산성이며 유계 집합에 대해 컴팩트한 전역 초구를 가짐을 증명한다.
• $\ell^\infty$ 공간에서의 동차 사상 $B$ 에 대해 콩 스펙트럼 반경은 $\mathbf{r}_+(B) \leq \max\left\{q_1 + \sum_{j,k} \beta_{jk}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}, q_m\} \right\}$ 를 만족하며, $\ell^1$ 과 $c_0$ 에서도 유사한 경계가 성립한다.
• 만약 $\max\{p_{m-1}, q_m\} \leq c\theta^m$ 이고 $\theta \in (0,1)$ 라면, $\mathbf{r}_+(B) \leq \|B\|_w = \max\left\{q_1 + \sum \beta_{jk}\theta^{j+k-1}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}/\theta, q_m\} \right\}$ 이다.
• $\mathbf{r}_+(B) > 0$ 를 위한 필수 및 필요조건은 $q_1 + \beta_{11} > 0$ 이거나, 어떤 $j,k$ 에 대해 $\beta_{jk} > 0$ 이고 $p_i > 0$ 이 모든 $i < \max\{j,k\}$ 에 대해 성립하는 것이다.
• 만약 $\max\{p_{m-1}, q_m\} \leq m^{-\alpha}$ 이고 $\alpha > 1$ 라면, $\mathbf{r}_+(B) \leq \|B\|_w = \max\left\{q_1 + \sum \beta_{jk} j^{-\alpha}k^{-\alpha}, \sup_{m \geq 2} \max\{p_{m-1}(m/(m-1))^\alpha, q_m\} \right\}$ 이며, 이 경계는 $\alpha \to 1^+$ 의 극한에서도 유지된다.