[논문 리뷰] Comparison of the Categories of Motives defined by Voevodsky and Nori

Daniel Harrer|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Voevodsky의 기하 모티브에서 Nori의 혼합 모티브의 유도 범주로의 삼등분된 텐서 함자를 구성하며, Betti 실현과 호환된다. 이는 정칙 스킴 위에서 두 주요 혼합 모티브 접근법 간의 비교를 수립하며, 계수 조건(체 또는 Dedekind 도메인)을 만족할 경우에만 성립함을 증명한다. 이를 위해 Nisnevich 커버, 유한 비순환 다이어그램, 다가우값 사상, 복소대수기하학의 코homological cell 구조를 사용한다.

ABSTRACT

In this thesis we compare V. Voevodsky's geometric motives to the derived category of M. Nori's abelian category of mixed motives by constructing a triangulated tensor functor between them. It will be compatible with the Betti realizations on both sides. We allow an arbitrary noetherian ring of coefficients, but require it to be a field or a Dedekind domain for the tensor structure on derived Nori motives to exist. There are three key ingredients: we present a theory of Nisnevich covers on finite acyclic diagrams of finite correspondences, explain, following D. Rydh, how to interpret finite correspondences as multivalued morphisms and elaborate on M. Nori's cohomological cell structures. For the first two, we will be working over an arbitrary regular scheme, but the last one will require that we restrict ourselves to a subfield of the complex numbers. On the way we also show that smooth commutative group schemes over a normal base automatically admit transfers, generalizing a result by M. Spiess and T. Szamuely.

연구 동기 및 목표

• Voevodsky의 기하 모티브와 Nori의 혼합 모티브의 유도 범주 간 비교를 수립한다.
• 두 범주 사이의 삼등분된 텐서 함수를 구성하며, Betti 실현을 존중한다.
• Rydh의 결과를 활용하여 유한 대응을 다가우값 사상으로 체계적으로 해석하는 이론을 확장한다.
• Nori의 코homological cell 구조를 복소대수기하학의 맥락에서 적용한다.
• 정규 기저 위의 스무스 가환 군 스킴에 대해 전이의 존재를 일반화한다.

제안 방법

• 정칙 스킴 위의 유한 비순환 다이어그램에 대한 Nisnevich 커버 이론을 개발한다.
• D. Rydh의 프레임워크를 따라 유한 대응을 다가우값 사상으로 해석한다.
• Nori의 코homological cell 구조를 사용하여 혼합 모티브의 유도 범주를 분석한다.
• Voevodsky의 모티브와 Nori의 모티브의 유도 범주 사이에 삼등분된 텐서 함수를 구성한다.
• 실현 함자 간 자연 변환을 통해 Betti 실현과의 호환성을 확보한다.
• Nori의 코homological cell 구조를 사용할 수 있도록 복소수의 부분체로 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Voevodsky의 기하 모티브는 어떻게 Nori의 혼합 모티브의 유도 범주와 비교될 수 있는가?
• RQ2 유도 Nori 모티브에 대한 텐서 구조가 존재하기 위한 계수 환의 조건은 무엇인가?
• RQ3 Nisnevich 위상의 맥락에서 유한 대응을 체계적으로 다가우값 사상으로 해석할 수 있는가?
• RQ4 Nori의 프레임워크에서의 코homological cell 구조는 모티브의 삼등분된 구조와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 정규 기저 위의 스무스 가환 군 스킴은 전이를 자동으로 갖는가? 이는 이전 결과를 일반화하는가?

주요 결과

• Voevodsky의 모티브에서 Nori의 혼합 모티브의 유도 범주로의 삼등분된 텐서 함수가 구성되었다.
• 이 함수는 양측의 Betti 실현과 호환되며, 고전적 코homology와의 일관성을 보장한다.
• 계수 환이 체 또는 Dedekind 도메인일 경우, 유도 Nori 모티브에 대한 텐서 구조가 존재한다.
• 유한 대응은 다가우값 사상으로 해석되었으며, Rydh의 프레임워크를 비순환 다이어그램으로 확장하였다.
• 정규 기저 위의 스무스 가환 군 스킴은 전이를 갖는다. 이는 Spiess와 Szamuely의 결과를 일반화한다.
• Nori 이론의 코homological cell 구조는 복소 기하 설정에서 적용되어 비교를 뒷받침한다.