[논문 리뷰] Complementary Dual Algebraic Geometry Codes

Sihem Mesnager, Chunming Tang외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 19.

Coding theory and cryptography참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 타원곡선, 초타원곡선, 히르미트 곡선에서 유도된 대수기하학적 방법을 이용해 선형 보완 이중(LCD) 코드의 새로운 구성법을 제시한다. 이러한 코드가 MDS 또는 거의 MDS가 되는 조건을 규명하였으며, 여러 무한한 가닥이 그리스머 경계를 충족하여 최적임을 입증하고, 측면채널 공격(Side-Channel Attack, SCA)에 대한 저항력이 뛰어난 강력한 후보로 여겨진다.

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) codes is a class of linear codes introduced by Massey in 1964. LCD codes have been extensively studied in literature recently. In addition to their applications in data storage, communications systems, and consumer electronics, LCD codes have been employed in cryptography. More specifically, it has been shown that LCD codes can also help improve the security of the information processed by sensitive devices, especially against so-called side-channel attacks (SCA) and fault non-invasive attacks. In this paper, we are interested in the construction of particular algebraic geometry (AG) LCD codes which could be good candidates to be resistant against SCA. We firstly provide a construction scheme for obtaining LCD codes from elliptic curves. Then, some explicit LCD codes from elliptic curve are presented. MDS codes are of the most importance in coding theory due to their theoretical significance and practical interests. In this paper, all the constructed LCD codes from elliptic curves are MDS or almost MDS. Some infinite classes of LCD codes from elliptic curves are optimal due to the Griesmer bound. Finally, we introduce a construction mechanism for obtaining LCD codes from any algebraic curve and derive some explicit LCD codes from hyperelliptic curves and Hermitian curves.

연구 동기 및 목표

• 측면채널 공격(Side-Channel Attack, SCA)에 대한 저항력을 향상시키기 위해, 대수적 곡선에서 LCD 코드를 체계적으로 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 타원곡선에서 유도된 LCD 코드 중 MDS 또는 거의 MDS인 것을 식별하고 특성화하여 최소거리가 높음을 보장하는 것.
• 초타원곡선과 히르미트 곡선을 포함한 일반적인 대수적 곡선으로 구성법을 확장하고, 명시적인 LCD 코드 매개변수를 도출하는 것.
• 일부 구성된 코드가 그리스머 경계를 충족함을 증명하여 최적성임을 입증하는 것.
• 대수기하학에서 유도된 무한한 가닥의 최적 LCD 코드 존재에 대한 이론적 및 계산적 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 비특수 분할과 유리점 위의 평가 사상에 기반한 타원곡선에서의 LCD 코드에 대한 일반적인 구성 체계를 제안한다.
• 쌍대 조건을 적용: 코드 $\mathcal{C}(D,G)$가 LCD일 조건은 $\mathrm{g.c.d}(G,H) = 0$ 이며, 여기서 $H$ 는 $G + H \sim K + D$ 를 만족하는 쌍대 분할이다.
• canonical 분할 $K$ 와 미분형식 $\omega$ 를 사용하여 잔여 조건을 통해 쌍대 코드를 정의한다.
• 리만-로흐 정리를 적용하여 $\mathcal{L}(G)$ 와 $\mathcal{L}(H)$ 의 차원을 분석하고, $\mathcal{C}(D,G) \cap \mathcal{C}(D,H)^\perp = \{0\}$ 이 되도록 보장한다.
• 초타원곡선과 히르미트 곡선로의 일반화를 위해, 장소의 차수와 유리함수를 사용하여 $G$ 와 $H$ 를 정의한다.
• 명시적인 예제에서 코드 매개변수와 LCD 성질을 검증하기 위해 MAGMA를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원곡선에서 유도된 대수기하 코드가 동시에 LCD이자 MDS가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 대수적 곡선에서 유도된 무한한 가닥의 LCD 코드가 그리스머 경계를 충족할 수 있는가? 이는 최적성을 의미한다.
• RQ3 비유리 대수적 곡선, 예를 들어 초타원곡선과 히르미트 곡선에서 LCD 성질을 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 비특수 분할은 AG 코드에서 LCD 성질을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 구성된 LCD 코드는 매개변수 분석을 통해 실질적으로 검증 가능하며, 측면채널 공격(Side-Channel Attack, SCA)에 저항하는 것으로 입증될 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문에서 타원곡선에서 유도된 모든 LCD 코드는 MDS 또는 거의 MDS이며, 길이와 차원에 비해 높은 최소거리임을 나타낸다.
• 타원곡선에서 유도된 몇몇 무한한 가닥의 LCD 코드는 그로스머 경계를 충족하여, 주어진 길이와 차원에서 최소거리 측면에서 최적임을 입증한다.
• 체 $\mathbb{F}_{64}$ 상의 종수 4의 초타원곡선에서 유도된 명시적 LCD 코드는 매개변수 $[126, 30]$ 을 가지며, 그 쌍대는 $[126, 96]$ 이며, MAGMA를 통해 검증되었다.
• $\mathbb{F}_9$ 상의 종수 3의 히르미트 곡선에서 유도된 LCD 코드는 매개변수 $[27, 12]$ 를 가지며, $8\mathcal{O} - 2P$ 가 비특수임을 확인하여 LCD 조건을 충족함을 입증한다.
• 구성 메커니즘은 임의의 대수적 곡선으로 일반화 가능하며, 정리 V.1과 정리 V.2는 분할 최대공약수와 잔여 조건을 사용한 LCD 코드에 대한 충분조건을 제공한다.
• 이론적 및 계산적 결과는 구성된 코드가 LCD일 뿐만 아니라 최적 또는 거의 최적임을 확인하여, SCA 저항 암호에서의 응용 가능성을 뒷받침한다.