[논문 리뷰] Complete Quasi-Metrics for Hyperspaces, Continuous Valuations, and Previsions

Jean Goubault-Larrecq|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 12.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 캄토로비치-루빈슈타인-허친슨 준거리(metric)를 초공간, 연속 척도, 그리고 준거리 공간 내의 예측(previsions)에 도입하며, 기저 공간이 대수적 요네다완전(algebraic Yoneda-complete)일 경우 이 준거리가 대수적 요네다완전 위상과 일치하는 약한 위상(weak topology)을 유도함을 증명한다. 이 구성은 컴퓨터 과학 의미론에 관련된 비하우스도르프, 비대칭 설정으로 고전적인 거리공간 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The Kantorovich-Rubinshtein metric is an $L^1$-like metric on spaces of probability distributions that enjoys several serendipitous properties. It is complete separable if the underlying metric space of points is complete separable, and in that case it metrizes the weak topology. We introduce a variant of that construction in the realm of quasi-metric spaces, and prove that it is algebraic Yoneda-complete as soon as the underlying quasi-metric space of points is algebraic Yoneda-complete, and that the associated topology is the weak topology. We do this not only for probability distributions, represented as normalized continuous valuations, but also for subprobability distributions, for various hyperspaces, and in general for different brands of functionals. Those functionals model probabilistic choice, angelic and demonic non-deterministic choice, and their combinations. The mathematics needed for those results are more demanding than in the simpler case of metric spaces. To obtain our results, we prove a few other results that have independent interest, notably: continuous Yoneda-complete spaces are consonant; on a continuous Yoneda-complete space, the Scott topology on the space of $\overline{\mathbb{R}}_+$-valued lower semicontinuous maps coincides with the compact-open and Isbell topologies, and the subspace topology on spaces of $α$-Lipschitz continuous maps also coincides with the topology of pointwise convergence, and is stably compact; we introduce and study the so-called Lipschitz-regular quasi-metric spaces, and we show that the formal ball functor induces a Kock-Zöberlein monad, of which all algebras are Lipschitz-regular; and we prove a minimax theorem where one of the spaces is not compact Hausdorff, but merely compact.

연구 동기 및 목표

• 폴리시 공간에서 약한 수렴을 메트라이즈하는 것으로 알려진 캄토로비치-루빈슈타인 거리를, 비하우스도르프, 비대칭인 준거리 공간으로 확장하기 위해.
• 대칭성 또는 컴actness가 없을 경우에도 연속 척도, 부분확률측도, 그리고 예측의 공간에 대한 완전성과 위상 일致성 수립하기 위해.
• 대수적 요네다완전성과 준거리 설정 내에서 위상 일관성을 보장함으로써, 확률적 및 비결정적 계산 의미론의 기초 마련하기 위해.

제안 방법

• 하향연속성 및 리프시츠 연속 함수 위에서의 쌍대성에 기반해 기능(예측)에 대한 캄토로비치-루빈슈타인-허친슨 준거리를 도입한다.
• 리프시츠 정규 준거리 공간을 정의하고 연구하며, 형식적 공 함수가 코크-조버라인 모나드를 유도하고, 그 대수들이 정확히 리프시츠 정규 공간임을 보여준다.
• 형식적 공 구축을 이용해 척도 및 예측의 공간에 대한 준거를 정의하며, 리프시츠 함수와의 쌍대성을 활용한다.
• 연속 요네다완전 공간에서, 확장된 실수값 하향연속 함수 공간에서 스코트 위상, 컴 pact-open 위상, 이슬벨 위상들이 일치함을 증명한다.
• A/D/P 재구성 쌍을 통한 리트랙션 및 임bedding 기법을 적용하여, 예측의 약한 위상이 d_KR^a-스코트 위상과 일치함을 보인다.
• 비콤팩트 하우스도르프 조건 없이도, 하향선형 및 초선형 예측에 대해 최소최대 정리 및 쌍대성 결과를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 공간이 대수적 요네다완전일 경우, 연속 척도 공간에서 캄토로비치-루빈슈타인-허친슨 준거리가 대수적 요네다완전성을 유도하는가?
• RQ2 비하우스도르프, 비대칭 설정에서 예측 공간의 약한 위상이 d_KR^a-스코트 위상으로 복원될 수 있는가?
• RQ3 준렌즈의 플롯킨 전력도메인에서 d_KR^a 준거리가, 포크 또는 척도 공간으로의 리트랙션을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 완전한 준거리 공간에서 모든 연속 척도 공간이 일반화된 KR 유형 준거리에 의해 메트라이즈 가능한가?
• RQ5 쌍대성 정리에서 커플링이 X×X 위의 확률 척도로 표현될 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 기저 공간이 대수적 요네다완전일 경우, 연속 척도 공간에서 캄토로비치-루빈슈타인-허친슨 준거리는 대수적 요네다완전이다.
• 연속 요네다완전 공간에서, 확장된 실수값 하향연속 함수 공간에서 스코트 위상, 컴 pact-open 위상, 이슬벨 위상들이 일치한다.
• α-리프시츠 연속 함수의 부분공간은 점별 수렴 위상을 상속받으며, d_KR^a 준거리 하에서 안정적으로 컴 pact하다.
• 형식적 공 함수는 코크-조버라인 모나드를 유도하며, 그 대수들은 정확히 리프시츠 정규 준거리 공간이다.
• 예측 공간에서 d_KR^a-스코트 위상은 리트랙션 및 임bedding 기법을 통한 위상적 분석을 통해 약한 위상과 일치한다.
• 비콤팩트 하우스도르프 조건 없이도, 하향선형 및 초선형 예측에 대해 최소최대 정리를 수립하였다.