[논문 리뷰] Completely bounded maps into certain Hilbertian operator spaces

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|2004. 03. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $0 < \theta < 1$ 에 대해 $C^*$-대수에서 복소 보간 공간 $(C,R)_\theta$ 로의 완전유계 사상에 대한 인수분해 기준을 수립한다. 이는 주어진 사상이 완전유계임과 동치인, 도메인 대수의 상태들에 대한 가중치(norm) 부등식이 성립함을 보여준다. 주요 결과는 $\theta = 1/2$ 에서의 그로텐디크 유형 인수분해를 $(0,1)$ 전역으로 확장하며, $\theta \to 0$ 또는 $\theta \to 1$ 일 때 상수들이 1에 수렴함을 보인다. 이는 열과 행 힐버트 공간의 고전적 경우를 복원한다. 증명은 비준비분할 von Neumann 대수에서의 일반화된 자유 가우시안 시스템과 복소 보간을 사용하며, $(C,R)_\theta$ 가 어떤 준비분할 von Neumann 대수의 전치체에 완전동형으로 통합되지 않음을 응용한다.

ABSTRACT

We prove a factorization of completely bounded maps from a $C^*$-algebra $A$ (or an exact operator space $E\subset A$) to $\ell_2$ equipped with the operator space structure of $(C,R)_θ$ ($00$ such that \[ \forall a\in A\quad \|ua\|^2\le C f(a^*a)^{1-θ}g(aa^*)^θ.\] This extends the case $θ=1/2$ treated in a recent paper with Shlyakhtenko. The constants we obtain tend to 1 when $θ o 0$ or $θ o 1$. We use analogues of "free Gaussian" families in non semifinite von Neumann algebras. As an application, we obtain that, if $0

연구 동기 및 목표

• 완전유계 사상에 대한 인수분해 정리를 $\ell_2$ 에 대해 $(C,R)_{1/2}$ 의 연산자 공간 구조로 확장하여 모든 $\theta \in (0,1)$ 에 대해 적용한다.
• 준비분할 von Neumann 대수의 전치체에 완전동형으로 통합되는 $R \oplus C$ 의 부분공간을 특성화한다.
• $0 < \theta < 1$ 에 대해 보간 공간 $(C,R)_\theta$ 가 어떤 준준비분할 von Neumann 대수의 전치체에 완전동형으로 통합되지 않음을 증명한다.
• 제운의 정리에 대해 비틀림 기반의 새로운 증명을 제공하여 $OH$ 가 비가환 $L_1$-공간에 완전동형으로 통합됨을 보인다.

제안 방법

• $C$ 와 $R$ 의 열과 행 힐버트 공간 사이의 복소 보간을 사용하여 $0 < \theta < 1$ 에 대해 $\ell_2$ 에 $(C,R)_\theta$ 의 연산자 공간 구조를 정의한다.
• 비준비분할 von Neumann 대수에서의 일반화된 자유 가우시안 가족을 도입하여 비가환 가우시안 변수의 유사체를 모델링한다.
• $A \to F = (C,R)_\theta$ 인 완전유계 사상에 대한 인수분해 기준을, $A$ 에서의 두 상태 $f,g$ 와 상수 $C > 0$ 에 대한 노름 부등식을 통해 수립한다. $\|ua\|^2 \leq C f(a^*a)^{1-\theta} g(aa^*)^\theta$.
• 대칭성과 보간 기법을 적용하여 $R \oplus C$ 의 부분공간의 전치체를 비가환 $L_p$-공간과 연결한다.
• 비가환 히친 기하부등식과 보간 추정을 사용하여 $S_p[OH_n]$ 에서의 연산자 노름을 유계화하고 완전유계 반바나흐-마즈르 거리의 하한을 유도한다.
• 제운의 원래 증명을 복소 보간과 슐랴크텐코의 일반화된 원형 시스템을 사용하여 수정하여, $OH$ 가 비가환 $L_1$-공간에 통합됨을 통합적으로 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 $\theta \in (0,1)$ 에 대해 보간 공간 $(C,R)_\theta$ 가 준준비분할 von Neumann 대수의 전치체에 완전동형으로 통합되는가?
• RQ2 어느 정도의 부분공간 $S \subset R \oplus C$ 가 주어진 준준비분할 von Neumann 대수 $M$ 에 대해 $S^*$ 가 $M_*$ 에 완전동형으로 통합되는가?
• RQ3 $(C,R)_\theta$ 로의 완전유계 사상에 대한 인수분해 정리가 $\theta = 1/2$ 를 초월하여 확장 가능한가?
• RQ4 $OH$ 는 비가환 $L_1$-공간에 완전동형으로 통합되는가? 만약 그렇다면, 이는 보간과 자유 확률론을 통해 증명될 수 있는가?
• RQ5 $E$ 가 비가환 $L_q$-공간의 부분공간일 때, 완전유계 반바나흐-마즈르 거리 $d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta)$ 의 渐近적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 완전유계 사상 $u: A \to F = (C,R)_\theta$ 는 $A$ 에서의 상태 $f,g$ 와 상수 $C > 0$ 가 존재하여 모든 $a \in A$ 에 대해 $\|ua\|^2 \leq C f(a^*a)^{1-\theta} g(aa^*)^\theta$ 를 만족함으로써 특성화된다. 상수 $C$ 는 $\theta \to 0$ 또는 $\theta \to 1$ 일 때 1에 수렴한다.
• 모든 $0 < \theta < 1$ 에 대해 보간 공간 $(C,R)_\theta$ 는 어떤 준준비분할 von Neumann 대수의 전치체에 완전동형으로 통합되지 않는다. 이는 제운의 결과를 일반화한다.
• 준준비분할 von Neumann 대수 $M$ 에 대해 $S^*$ 가 $M_*$ 에 완전동형으로 통합되는 $R \oplus C$ 의 유일한 부분공간은 $S = R$, $S = C$, $S = R \cap C$, 그리고 이러한 것들의 직접합으로 구성된 것이다.
• 완전유계 반바나흐-마즈르 거리 $d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta)$ 는 $q > \max\{p, p'\}$ 인 경우에 대해 $d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta) \geq (2B_q)^{-1} n^{\beta/2}$ 를 만족한다. 여기서 $p = (1-\theta)^{-1}$, $p' = \theta^{-1}$, $\beta = \min\{p^{-1} - q^{-1}, p'^{-1} - q^{-1}\}$.
• 공간 $OH$ 는 비가환 $L_1$-공간에 완전동형으로 통합되며, 이 결과는 복소 보간과 일반화된 자유 가우시안 시스템을 통해 재증명되었으며, 이는 이전의 접근법들을 통합한다.