[논문 리뷰] Completeness of Ordered Fields

James F. Hall|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 29.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 완전성 성질의 여러 형태—데데킨드, 순차, 칸토어, 힐베르트, 라이프니츠 완전성—이 전체 순서를 가진 아르키메데스 성질을 만족하는 체에서 상호 동치임을 증명하며, 이들 모두가 실수를 특징짓는다는 것을 보여준다. 또한 비아르키메데스 성질을 가진 체에서는 힐베르트, 칸토어, 순차 완전성만 유지되며, 이들 사이의 동치성은 더 이상 성립하지 않음을 보여, 고전적 완전성 동치성의 핵심적 역할을 하는 아르키메데스 성질의 중요성을 강조한다.

ABSTRACT

The main goal of this project is to prove the equivalency of several characterizations of completeness of Archimedean ordered fields; some of which appear in most modern literature as theorems following from the Dedekind completeness of the real numbers, while a couple are not as well known and have to do with other areas of mathematics, such as nonstandard analysis. Continuing, we study the completeness of non-Archimedean fields, and provide several examples of such fields with varying degrees of properties, using nonstandard analysis to produce some relatively "nice" (in particular, they are Cantor complete) final examples. As a small detour, we present a short construction of the real numbers using methods from nonstandard analysis.

연구 동기 및 목표

• 전체 순서를 가진 아르키메데스 성질을 만족하는 체에서 데데킨드, 순차, 칸토어, 힐베르트, 라이프니츠 완전성 간의 동치성을 확립하기.
• 순서 체에서 아르키메데스 성질을 제거할 경우 완전성 성질 간의 동치성이 어떻게 영향을 받는지 조사하기.
• 8개의 동치인 공리계를 사용하여 실수의 대체 공리적 특징을 제공하기.
• 비아르키메데스 체, 특히 비표준 확장과 점점 가까운 체의 구조 및 성질을 탐구하여 고전적 완전성 동치성의 반례로 삼기.

제안 방법

• 모든 순서 체에 대한 ℚ의 표준 포함사상(canonical embedding)을 사용하여 아르키메데스 성질을 정의하고, 아르키메데스 성질을 만족하는 체와 그렇지 않은 체를 구분하기.
• 포화 원리와 비표준 확장 기법을 적용하여 *ℝ 및 ρ-점점 가까운 체와 같은 비아르키메데스 체를 구성하기.
• 볼록 부분환과 아이디얼(예: ℳρ 및 ℕρ)을 사용하여 로빈슨의 점점 가까운 수 체를 몫환 ℳρ/ℕρ로 정의하기.
• 하인 필드 구성법 ℝ((t^ℝ))을 사용하여 점점 가까운 체 ℝ^ρ에 포함시키며, *ℝ에서는 관찰되지 않는 수렴 성질을 보여주기.
• 레마 6.5와 정리 6.3을 적용하여 비아르키메데스 환경에서 칸토어 κ-완전성과 순차 완전성을 증명하기.
• 점점 가까운 체의 위상적 및 순서 이론적 성질 분석, 특히 순서 위상과 윅정 위상 간의 동치성 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 순서를 가진 아르키메데스 성질을 만족하는 체에서 데데킨드 완전성, 순차 완전성, 칸토어 완전성이 상호 동치인가?
• RQ2 순서 체에서 아르키메데스 성질을 제거할 경우, 완전성 성질 간의 동치성이 어떻게 변하는가?
• RQ3 모든 유한한 비표준 원소가 표준 원소에 무한히 가까운 라이프니츠 완전성 조건—이는 실수의 대체 특징으로 사용될 수 있는가?
• RQ4 비아르키메데스 체인 *ℝ 또는 ℝ^ρ는 고전적 완전성 성질을 모두 만족하는가? 만약 그렇지 않다면 어떤 성질이 실패하는가?
• RQ5 포화성과 완전성 측면에서 표준 순서 체와 구별되는 비아르키메데스 체인 ℝ^ρ의 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 전체 순서를 가진 아르키메데스 성질을 만족하는 체에서는 데데킨드 완전성, 순차 완전성, 칸토어 완전성, 힐베르트 완전성, 라이프니츠 완전성이 모두 상호 동치이다.
• 비아르키메데스 체에서는 힐베르트 완전성, 칸토어 완전성, 순차 완전성만 성립하며, 이들 사이의 동치성은 더 이상 성립하지 않는다.
• 비아르키메데스 체에서는 순차 완전성이 필수적이지만 칸토어 완전성을 보장하지는 않으며, 이는 정리 6.6과 예제 9.3을 통해 입증된다.
• 로빈슨의 ρ-점점 가까운 수 체 ℝ^ρ는 비아르키메데스 성질을 만족하고, 실수 폐쇄되어 있으며, 순차 완전성과 칸토어 완전성을 만족하지만, 대수적으로 포화되어 있지 않다.
• ℝ^ρ는 ℝ((t^ℝ))와 같은 형식적 멱급수 체를 포함하는 임bedding을 통해 포함되며, 이 수렴 성질은 *ℝ에서는 관찰되지 않는다.
• ℝ^ρ에서는 순서 위상과 윅정 거리 위상 간에 동치성이 성립한다. 이는 점점 가까운 체의 비트리비한 위상 성질이다.