[논문 리뷰] Complex Chern--Simons bundles in the relative setting

Dennis Eriksson, Gerard Freixas i Montplet외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 05.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 딜리뉴–엘키크와 보트–첼른 클래스에 영감을 받은 함자적 교차 이론을 활용하여, 컴acts 리만 곡면의 가족에 대한 상대적 설정에서 복소 차이분류군(bundle)을 도입한다. 이는 배럴의 성질을 증명하고, 그 곡률이 아티야–볼트–골드먼 형식과 일치함을 보이며, 두 주요 추측을 해결한다: 베르그만과 베르스의 프로젝티브 구조 간의 비교에 관한 것과, 캡엘–밀러 토르션을 위한 리만–로흐 공식에 관한 것.

ABSTRACT

Complex Chern-Simons bundles are line bundles with connection, originating in the study of quantization of moduli spaces of flat connections with complex gauge groups. In this paper we introduce and study these bundles in the families setting. The central object is a functorial direct image of characteristic classes of vector bundles with connections, for which we develop a formalism. Our strategy elaborates on Deligne-Elkik's intersection bundles, and a refined Chern-Simons theory which parallels the use of Bott-Chern classes in Arakelov geometry. In the context of moduli spaces, we are confronted with flat relative connections on families of Riemann surfaces. To be able to rely on the functorial approach, we prove canonical extension results to global connections, inspired by the deformation theory of harmonic maps in non-abelian Hodge theory. The relative complex Chern-Simons bundle $\mathcal{L}_{CS}$ is then defined as a functorial direct image of the second Chern class on the relative moduli space of flat vector bundles. We establish the crystalline nature of $\mathcal{L}_{CS}$, and the existence of a holomorphic extension of natural metrics from Arakelov geometry. The curvature of $\mathcal{L}_{CS}$ can be expressed in terms of the Atiyah-Bott-Goldman form, in agreement with the classical topological approach. To highlight a few applications, we first mention a characterization of projective structures of Riemann surfaces in terms of connections on intersection bundles. In particular, we settle a conjecture of Bertola-Korotkin-Norton on the comparison between the Bergman and the Bers projective structures. This is the problem of determining the accessory parameters of quasi-Fuchsian uniformizations. A conjecture of Cappell-Miller is also established, to the effect that their holomorphic torsion satisfies a Riemann-Roch formula.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 리만 곡면의 가족에 대한 상대적 설정에서 복소 차이분류군의 함자적 체계를 개발한다.
• 베르톨라–코로틴–노튼이 제기한, 베르그만과 베르스의 프로젝티브 구조 간의 관계에 관한 추측을 해결한다.
• 델리뉴의 리만–로흐 등식을 확장하여, 캡엘–밀러 헬름홀츠 토르션을 위한 리만–로흐 공식을 수립한다.
• 차이분류군 변환을 통한 연결을 이용하여 프로젝티브 구조의 새로운 특성화를 제공한다.
• 평탄한 상대적 연결의 정규 확장을 증명하여, 비아벨리안 호드지 이론에서 전역 메트릭 및 곡률 분석을 가능하게 한다.

제안 방법

• 델리뉴–엘키크의 교차 배럴 체계를 변형하여, 평탄한 배럴의 상대적 모듈리 공간에서 두 번째 차이분류군의 함자적 직접 이미지를 구성한다.
• 아라켈로프 기하학에서의 보조 불변량을 다루기 위해 보트–첼른 클래스를 활용한 정밀한 차이분류군 이론을 개발한다.
• 차이분류군 변환을 커널로 삼아, 프로젝티브 구조의 가족을 딜리뉴 쌍대화의 연결으로 매핑하는 방법을 도입한다.
• 조화형 사상의 변형 이론을 적용하여, 평탄한 상대적 연결이 전역 연결으로 정규 확장됨을 증명한다.
• 곡선의 가족 위에서 $ SL_r(bC)$-배럴의 일반 모듈리 공간을 사용하여 상대적 복소 차이분류군 $ L_{ m CS}$를 정의한다.
• 메트릭의 해석적 연장과 전이 클래스를 통해 $ L_{ m CS}$의 곡률이 아티야–볼트–골드먼 형식과 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 복소 차이분류군을 리만 곡면의 가족에 대한 함자적이고 상대적인 설정에서 정의할 수 있는가?
• RQ2 리만 곡면 위의 베르그만과 베르스 프로젝티브 구조 간의 관계는 무엇이며, 차이분류군 이론을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 캡엘–밀러 헬름홀츠 토르션은 리만–로흐 공식을 만족하는가? 만약 그렇다면, 델리뉴의 리만–로흐 등식과는 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 복소 차이분류군 배럴을 사용하여 교차 배럴 위의 연결을 통해 프로젝티브 구조를 특성화할 수 있는가?
• RQ5 상대적 복소 차이분류군 배럴의 곡률은 무엇이며, 고전적 위상수학 불변량인 아티야–볼트–골드먼 형식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 상대적 복소 차이분류군 $ L_{ m CS}$는 크리스탈린 성질을 지니며, 곡률이 아티야–볼트–골드먼 형식과 일치함을 입증하였다.
• 베르톨라–코로틴–노턴의 추측(베르그만과 베르스 프로젝티브 구조 간의 비교)은 차이분류군 변환을 통해 증명되었다.
• 캡엘–밀러 토르션은 리만–로흐 공식을 만족하며, 이는 추측을 확인하고 델리뉴의 리만–로흐 등식을 헬름홀츠 토르션으로 확장함을 의미한다.
• 형식론을 통해 테이크타잔–조프라의 리만–로흐 공식을 재증명하였다.
• 복소 차이분류군 배럴은 슈롯키 공간 위에서 타크타잔–조프라 리우빌 작용의 단순한 구성법을 제공한다.
• 아라켈로프 기하학에서 메트릭의 해석적 연장을 상대적 복소 차이분류군 배럴로 확장함을 입증하였다.