[논문 리뷰] Complex Monge-Ampere equations and totally real submanifolds

Bo Guan, Qun Li|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 09.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 34인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 일반적인 (비강한 준볼록이 아닌) 허미트 다양체 위에서 복소 몽에-아프레 방정식의 딜리클레 문제의 해가 존재함을 확립한다. 이는 고전 결과를 더 넓은 기하학적 설정으로 확장한 것이다. 주요 기여는 하위해 조건 하에 일반적인 존재 정리의 수립이며, 이는 도널드슨의 켈러 메트릭 공간 내 지오데식에 대한 추측과 동일한 해를 갖는 전적으로 실수 부분다양체의 특성화에 응용된다.

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem for complex Monge-Ampere equations in Hermitian manifolds with general (non-pseudoconvex) boundary. Our main result extends the classical theorem of Caffarelli, Kohn, Nirenberg and Spruck in the flat case. We also consider the equation on compact manifolds without boundary, attempting to generalize Yau's theorems in the Kaehler case. As applications of the main result we study some connections between the homogeneous complex Monge-Ampere ({\em HCMA}) equation and totally real submanifolds, and a special Dirichlet problem for the HCMA equation related to Donaldson's conjecture on geodesics in the space of Kaehler metrics.

연구 동기 및 목표

• 강한 준볼록 영역을 초월하여 경계를 가진 일반적인 허미트 다양체 위에서 복소 몽에-아프레 방정식의 고전적 해 존재 이론을 확장한다.
• 콤���트 켈러 다양체 위에서의 유제의 존재 정리들을 허미트 설정으로 일반화한다.
• 동차 복소 몽에-아프레 방정식의 해를 이용해 전적으로 실수 부분다양체를 특성화한다.
• HCMA 방정식에 대한 특수한 딜리클레 문제를 통해 켈러 메트릭 공간 내 지오데식에 대한 도널드슨의 추측을 다룬다.

제안 방법

• 하위해 조건을 사용하여 경계를 가진 허미트 다양체 위에서 복소 몽에-아프레 방정식에 대한 일반적인 존재 정리를 수립한다.
• 비타성 방정식, 특히 동차 복소 몽에-아프레(HCMA) 방정식을 다루기 위해 복사 이론과 타원형 PDE 기법을 적용한다.
• 켈러 메트릭 공간 내 지오데식 문제를 $M \times A$로 옮겨, 여기서 $A$는 링근이므로 지오데식 방정식을 HCMA 방정식으로 재구성한다.
• 허미트 메트릭 공간 위의 $L^2$ 리만 메트릭을 사용해 지오데식을 정의하고, 해당 몽에-아프레 방정식을 유도한다.
• 복소 헤시안의 양성 보장을 위해 $\underline{\varphi} = (1-t)\varphi_0 + t\varphi_1 + K(t^2 - t)$ 형태의 엄밀한 하위해를 구성한다.
• 주요 존재 결과를 적용하여 $M \times A$ 위에서 HCMA 방정식의 약한 해가 존재함을 증명한다. 여기서 $\varphi \in C^{1,\alpha}$ 이고 $\Delta\varphi \in L^\infty$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 일반적인 (비강한 준볼록) 허미트 다양체 위에서 복소 몽에-아프레 방정식의 딜리클레 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 동차 복소 몽에-아프레 방정식은 어떻게 전적으로 실수 부분다양체를 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 도널드슨의 켈러 메트릭 공간 내 스무스 지오데식의 존재에 대한 추측은 허미트 설정에서 성립하는가?
• RQ4 허미트 다양체 위의 지오데식 메트릭 맥락에서 HCMA 방정식의 해에 대해 달성 가능한 정(regularity)은 무엇인가?

주요 결과

• 어떤 경계를 가진 콤팩트 허미트 다양체 위에서 $C^4$ 하위해가 존재하고, 부등식과 경계 조건을 만족할 경우, 복소 몽에-아프레 방정식의 딜리클레 문제는 스무스 해를 가진다.
• 초기 데이터가 $C^4$일 경우, $M \times A$ 위에서 HCMA 방정식의 해는 약한 $C^{1,\alpha}$ 클래스에 속하며, $\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$ 를 만족한다.
• 기저 다양체가 비음성 이중곡률을 가질 경우, 해는 $C^{1,1}(M \times A)$ 에 속하여 해의 정(regularity)이 향상된다.
• 지오데식 문제의 해는 유일하고 회전 대칭성을 가지며, 이는 해가 시간 변수 $t$ 에만 의존하고, 각도 변수 $s$ 에는 의존하지 않음을 확인한다.
• $M \times A$ 위에서 HCMA 방정식의 약한 해가 존재하면, 허미트 메트릭 공간 내 지오데식이 존재함을 의미하며, 이는 도널드슨의 추측을 허미트 경우로 확장한다.
• 해의 기하학적 구조와 헤시안 성질을 통해 HCMA 방정식의 해를 이용한 전적으로 실수 부분다양체의 특성화가 확립된다.