[논문 리뷰] Complexity measures in QFT and constrained geometric actions

Pablo Bueno, Javier M. Magán외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 09.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 66인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 양자장론에서 양자 복잡도의 엄밀한 기하학적 프레임워크를 수립하여, 어떤 비용 함수가 회로 복잡도에 대한 유효한 하한을 제공하는지 규명한다. 비균일한 비용 함수는 라이오프의 하한을 위반하며, 힐버트 공간의 계량에서 유도된 표준 복잡도 측정법이 힐버트-자코비 분석과 함께 하모닉스의 쌍대군 작용 및 양자 작용과 연결됨을 밝혀내어 고전적 및 양자 시스템에서의 복잡도와 난류를 통합적으로 기술한다.

ABSTRACT

We study the conditions under which, given a generic quantum system, complexity metrics provide actual lower bounds to the circuit complexity associated to a set of quantum gates. Inhomogeneous cost functions ---many examples of which have been recently proposed in the literature--- are ruled out by our analysis. Such measures are shown to be unrelated to circuit complexity in general and to produce severe violations of Lloyd's bound in simple situations. Among the metrics which do provide lower bounds, the idea is to select those which produce the tightest possible ones. This establishes a hierarchy of cost functions and considerably reduces the list of candidate complexity measures. In particular, the criterion suggests a canonical way of dealing with penalties, consisting in assigning infinite costs to directions not belonging to the gate set. We discuss how this can be implemented through the use of Lagrange multipliers. We argue that one of the surviving cost functions defines a particularly canonical notion in the sense that: i) it straightforwardly follows from the standard Hermitian metric in Hilbert space; ii) its associated complexity functional is closely related to Kirillov's coadjoint orbit action, providing an explicit realization of the ``complexity equals action'' idea; iii) it arises from a Hamilton-Jacobi analysis of the ``quantum action'' describing quantum dynamics in the phase space canonically associated to every Hilbert space. Finally, we explain how these structures provide a natural framework for characterizing chaos in classical and quantum systems on an equal footing, find the minimal geodesic connecting two nearby trajectories, and describe how complexity measures are sensitive to Lyapunov exponents.

연구 동기 및 목표

• 양자장론에서 회로 복잡도에 대한 유효한 하한을 제공하는 복잡도 측정법을 규명하는 것.
• 라이오프의 하한을 위반하고 물리적 복잡도와 관련이 없는 비균일한 비용 함수를 배제하는 것.
• 가장 날카운 하한을 제공하는 비용 함수를 식별하여 비용 함수의 계층을 수립하는 것.
• 표준 힐버트 공간 계량에서 유도된 표준 복잡도 함수기능을 규명하고 기하학적 작용 및 '복잡도는 작용과 같다'의 원리와의 연결 고리를 밝히는 것.
• 기하학적 및 심플렉틱적 구조를 사용하여 고전적 및 양자 시스템에서의 복잡도와 난류를 통합적으로 기술하는 것.

제안 방법

• 연속적 프로토콜과 즉각적인 해밀토니안을 사용하여 유니터리 군 다양체 위의 지오데식 길이를 통해 회로 복잡도를 분석한다.
• 유니터리 변환의 반바흐-라이 군 구조를 적용하여 복잡도에 대한 기하학적 프레임워크를 정의한다.
• 비용 함수가 복잡도에 대한 유효한 하한을 제공하도록 보장하기 위해 $\nabla$-유계 조건을 도입한다.
• 게이트 세트 외부 방향에 대해 무한한 처벌을 부과하기 위해 라그랑주 승수를 사용하여 비용 함수의 제약 조건을 강제한다.
• 힐버트 공간 내적에서 유도된 표준 복잡도 기능 $F_{\braket{H^{2}}}$를 유도하고, 이것이 키릴로프의 쌍대군 궤도 작용과 동치임을 보여준다.
• 양자 작용의 하밀턴-자코비 분석을 수행하여 표준 복잡도 측정법이 양자 역학의 반고전적 근사에서 자연스럽게 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자장론에서 어떤 비용 함수가 회로 복잡도에 대한 유효한 하한을 제공하는가?
• RQ2 왜 비균일한 비용 함수는 물리적 복잡도와 관련이 없고 라이오프의 하한을 위반하는가?
• RQ3 기하학적 및 군론적 원리를 사용하여 유력한 후보들 중에서 유일한 표준 복잡도 기능을 어떻게 선택할 수 있는가?
• RQ4 표준 복잡도 기능과 키릴로프의 쌍대군 궤도 작용 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ5 기하학적 복잡도 프레임워크는 고전적 및 양자 시스템에서의 복잡도와 난류를 어떻게 통합적으로 기술하는가?

주요 결과

• 비균일한 비용 함수는 단순한 시스템에서도 라이오프의 하한을 위반하므로 배제되며, 회로 복잡도에 대한 의미 있는 하한을 제공하지 못한다.
• 표준 복잡도 측정법 $F_{\braket{H^{2}}}$는 표준 힐버트 공간 내적에서 직접 유도되며, 가장 날카운 가능한 하한을 제공한다.
• 이 표준 기능은 키릴로프의 쌍대군 궤도 작용과 동치이며, '복잡도는 작용과 같다'의 추측을 직접적으로 실현한다.
• 복잡도 기능은 양자 작용의 하밀턴-자코비 분석을 통해 자연스럽게 유도되며, 양자 역학의 반고전적 근사와 연결된다.
• 이 프레임워크는 복잡도와 난류를 통합적으로 기하학적으로 기술하며, 근접한 궤도들 사이의 최소 지오데식을 통해 리아푸노프 지수에 민감한 복잡도 측정법을 제공한다.
• 비게이트 방향에 대해 무한한 비용을 할당하기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 것은 게이트 세트 제약 조건을 강제하는 표준적이고 물리적으로 일관된 방법을 제공한다.