[논문 리뷰] Computing energy density in one dimension

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 04.

Quantum many-body systems참고 문헌 18인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 레이니 엔트랑세멘트 엔트로피의 면적 법칙 또는 스펙트럴 갭 조건을 만족하는 1차원 양자 시스템에서 에너지 밀도를 계산하는 엄밀한 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 시스템 크기와 무관하게 정밀도의 역수에 대해 지수보다 느린 스케일링을 달성하며, 유한한 결합 차수를 가진 행렬 곱 상태 연산자(MPO)를 통해 단위 사이트당 기본 상태 에너지를 효율적으로 근사할 수 있다.

ABSTRACT

We study the problem of computing energy density in one-dimensional quantum systems. We show that the ground-state energy per site or per bond can be computed in time (i) independent of the system size and subexponential in the desired precision if the ground state satisfies area laws for the Renyi entanglement entropy (this is the first rigorous formulation of the folklore that area laws imply efficient matrix-product-state algorithms); (ii) independent of the system size and polynomial in the desired precision if the system is gapped. As a by-product, we prove that in the presence of area laws (or even an energy gap) the ground state can be approximated by a positive semidefinite matrix product operator of bond dimension independent of the system size and subpolynomial in the desired precision of local properties.

연구 동기 및 목표

• 면적 법칙이 1차원 양자 시스템에서 행렬 곱 상태(MPS) 알고리즘의 효율성을 암시하는 것으로 널리 알려진 개념을 엄밀히 수립하는 것.
• 시스템 크기에 영향을 받지 않는 정밀도 δ로 단위 사이트당 또는 단위 결합당 기본 상태 에너지 밀도를 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 면적 법칙을 만족하는 기본 상태가 정규화된 양의 준정적 행렬 곱 연산자(MPO)로 표현될 수 있으며, 이 경우 결합 차수는 정밀도에 대해 다항식보다 느리게 증가함을 증명하는 것.
• 엔트랑세멘트 면적 법칙과 스펙트럴 갭 조건 하에서 에너지 밀도 추정의 계산 복잡도 한계를 설정하는 것.
• 이론적 양자 하미르토니안 복잡도와 실용적인 수치 방법(DMRG 등) 간의 갭을 메우기 위해 MPS 효율성의 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 에너지 밀도의 통계적 추정을 위해 정밀도 δ에 대해 O(1/δ) 크기의 블록으로 1차원 체인을 분할한다.
• 고정된 확률로 평균 에너지 밀도를 추정하기 위해 무작위로 샘플링된 블록에서 정확한 대각화를 수행한다.
• 리브-로빈슨 경계와 시간 순서 정렬된 지수 근사법을 적용하여 국소 진동 연산자의 오차가 제한된 상태에서 시뮬레이션한다.
• 국소 하미르토니안의 절단 및 이산화된 적분을 사용하여 시간 진동 연산자의 MPO 근사를 구성한다.
• 표준형 변환과 스미스 분해를 활용하여 결합 차수가 유한한 효율적인 MPS 표현을 보장한다.
• 절단, 이산화, 근사화 오차의 분석을 통합하여 총 오차를 δ 이내로 제한하며, 이 때 결합 차수는 1/δ에 대해 다항식보다 느리게 증가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 양자 시스템에서 레이니 엔트랑세멘트 엔트로피의 면적 법칙이 성립할 경우, 기본 상태 에너지 밀도를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 하미르토니안에 에너지 갭이 존재할 경우, 시스템 크기에 영향을 받지 않는 다항 시간 알고리즘이 에너지 밀도 추정에 적용 가능한가?
• RQ3 면적 법칙을 만족하는 기본 상태는 시스템 크기에 영향을 받지 않고 정밀도에 대해 다항식보다 느리게 증가하는 결합 차수를 가진 MPO로 근사 가능한가?
• RQ4 면적 법칙 또는 스펙트럴 갭 조건이 성립하는 1차원 시스템에서 정밀도 δ로 에너지 밀도를 추정하는 데 필요한 계산 복잡도는 얼마인가?
• RQ5 면적 법칙 또는 갭 존재 여부가 행렬 곱 상태 표현의 효율성과 에너지 계산에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기본 상태가 레이니 엔트랑세멘트 엔트로피의 면적 법칙을 만족할 경우, 에너지 밀도는 시스템 크기에 영향을 받지 않고 정밀도 δ에 대해 지수보다 느린 스케일링으로 계산 가능하다.
• 시스템이 갭이 있을 경우, 에너지 밀도는 시스템 크기에 영향을 받지 않고 정밀도 δ에 대해 다항식 스케일링으로 계산 가능하다.
• 기본 상태는 시스템 크기에 영향을 받지 않고 정밀도 δ에 대해 다항식보다 느리게 증가하는 결합 차수를 가진 양의 준정적 MPO로 근사 가능하다.
• MPO 근사의 결합 차수는 (1/δ)^O(1 + √(log(1/η)/log(1/δ))/ε)로 표현되며, 고정된 ε에 대해 1/δ에 대해 다항식보다 느리게 증가한다.
• 랜덤 샘플링과 체르노프 유사 농도 경계를 활용하여, 오차 한계가 δ 이내가 되는 확률이 최소 0.999 이상이 되도록 알고리즘이 설계되었다.
• MPO 구성 요소의 구성은 효율적이며, 각 구성 요소에 대해 다항 시간(poly(D))이 소요되며, 여기서 D는 결합 차수이다.