[논문 리뷰] Conditional Indexing Lower Bounds Through Self-Reducibility

Massimo Equi, Veli Mäkinen외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 03.

semigroups and automata theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 옥스포럴 벡터 가설(OVH)에 기반하여 인덱싱된 문제의 조건부 하한을 유도하는 일반적인 기법을 제안한다. 옥스포럴 벡터 문제와 이를 감소시킬 수 있는 문제들은 다항시간 인덱싱이 가능하더라도 하중이 제곱 이하의 쿼리 시간을 지원할 수 없음을 증명하여, 그래프 상의 정확한 문자열 매칭에 대한 첫 번째 엄밀한 조건부 하한을 확립하고, 일부 순환하지 않는 NFA의 다항시간 결정화가 불가능함을 시사한다.

ABSTRACT

We provide a general technique to turn a conditional lower bound result based on the Orthogonal Vectors Hypothesis (OVH) into one for the indexed version of the same problem. This consists of two results that hold under OVH: (i) the Orthogonal Vectors (OV) problem cannot be indexed in polynomial time to support sub-quadratic time queries, and (ii) any problem to which OV reduces with a natural property also cannot be indexed in polynomial time to support fast queries. We demonstrate the power of this technique on the problem of exact string matching on graphs, deriving the first, and tight, conditional lower bound for its indexed version. The result has an interesting corollary for automata theory: Unless OVH is false, there is no polynomial determinisation algorithm of a finite automaton, even for an acyclic non-deterministic automata whose only non-deterministic transitions are from the start state. For another example of the use of the technique, we apply it to the reduction by Backurs and Indyk (STOC 2015) on edit distance. This results into the first tight conditional indexing lower bound for approximate string matching. This strengthens the recent tailored reduction by Cohen-Addad, Feuilloley and Starikovskaya (SODA 2019), but with a slightly different boundary condition.

연구 동기 및 목표

• 옥스포럴 벡터(OV) 문제의 인덱싱된 변형에 대해 옥스포럴 벡터 가설(OVH) 하에 조건부 하한을 확립하는 것.
• 자연스러운 감소 성질을 갖는 문제들에 대해 이러한 하한을 확장하는 것.
• 이 기법을 적용하여 그래프 상의 정확한 문자열 매칭에 대한 첫 번째 엄밀한 조건부 인덱싱 하한을 도출하는 것.
• 특히 시작 상태에서의 비결정성만을 갖는 순환하지 않는 NFA의 다항시간 결정화 존재성에 대한 함의를 보여주는 것.
• 백우르스-인디크 감소를 통한 일반화된 감소를 통해 편집 거리 인덱싱에 대한 첫 번째 엄밀한 조건부 하한을 도출함으로써 이전의 타깃된 감소 기법을 향상시키는 것.

제안 방법

• 표준 문제에서의 조건부 하한을 인덱싱된 문제 변형으로 옮기기 위해 자기감소성을 활용한다.
• OVH를 적용하여, OV 문제에 대해 다항시간 인덱싱 구조가 하중이 제곱 이하의 쿼리 시간을 지원할 수 없음을 보여준다.
• 자연스러운 감소 성질을 사용하여 OV로 감소할 수 있는 임의의 문제에 대해 하한을 확장한다.
• 이 프레임워크를 그래프 상의 정확한 문자열 매칭에 적용하여 엄밀한 인덱싱 하한을 도출한다.
• 결과를 자동화 이론으로 이전하여, 시작 상태에서만 비결정적 전이를 갖는 순환하지 않는 NFA에 대해 다항시간 결정화가 존재하지 않음을 보여준다.
• 백우르스-인디크 감소를 통한 약간의 일반화된 감소를 통해 근사 문자열 매칭에 적용하여 편집 거리 인덱싱에 대한 엄밀한 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 옥스포럴 벡터 문제에 대한 조건부 하한이 OVH 하에 인덱싱된 변형으로 이행될 수 있는가?
• RQ2 이러한 인덱싱 하한이 그래프 상의 정확한 문자열 매칭에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ3 OVH를 가정할 때, 시작 상태에서만 비결정적 전이를 갖는 순환하지 않는 비결정적 유한 자동화의 다항시간 결정화 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 이 기법을 편집 거리 기반 근사 문자열 매칭에 적용하여 엄밀한 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 편집 거리 인덱싱의 맥락에서 이 프레임워크는 이전의 타깃화된 감소 기법과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• OVH 하에, 옥스포럴 벡터 문제의 인덱싱된 변형은 다항시간 프리프로세싱과 하중이 제곱 이하의 쿼리 시간을 동시에 갖을 수 없다.
• 자연스러운 감소 성질을 갖는 문제들이라면, OV로 감소할 수 있는 임의의 문제도 이 인덱싱 하한을 물려받는다.
• 그래프 상의 정확한 문자열 매칭에 대한 첫 번째 엄밀한 조건부 인덱싱 하한이 확립된다.
• OVH가 참이 아니라고 가정할 경우, 시작 상태에서만 비결정적 전이를 갖는 순환하지 않는 NFA에 대해 다항시간 결정화 알고리즘이 존재하지 않는다.
• 이 기법은 편집 거리 기반 근사 문자열 매칭 인덱싱에 대한 첫 번째 엄밀한 조건부 하한을 도출하여, 이전의 타깃화된 감소 기법을 향상시킨다.
• 코헨-아다드, 푸아요, 스타리코브스카야의 이전 결과를 일반화하고 강화하며, 약간 다른 경계 조건을 갖는다.