[논문 리뷰] Conductors and newforms for non-supercuspidal representations of unramified U(2,1)

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 p ≠ 2인 p진 체 위의 비분비단위군 U(2,1)의 비초스피달 일반 표현에 대해 임의의 도수를 결정하고, 새로운 형식을 명시적으로 구성한다. 열린 컴acts 부분군 K_n의 가족을 사용하여, 새로운 형식이 월리스 함수에 대한 시험 벡터임을 증명하고, 제타 적분에서의 영이 아님을 보장한다. 유도 표현의 경우 도수는 2c(μ₁) + c(μ₂)임을 보이며, 새로운 형식의 공간은 일차원이다.

ABSTRACT

Let G be the unramified unitary group in three variables defined over a p-adic field with odd p. The conductors and newforms for representations of G are defined by using a certain family of open compact subgroups of G. In this paper, we determine the conductors of non-supercuspidal representations of G, and give explicit newforms in induced representations for non-supercuspidal generic representations.

연구 동기 및 목표

• p ≠ 2인 p진 체 위의 비분비단위군 U(2,1)의 비초스피달 일반 표현의 도수를 결정하는 것.
• 비초스피달 일반 표현에 대해 유도 표현 내에서 새로운 형식을 명시적으로 구성하는 것.
• 비초스피달 표현에 대한 새로운 형식이 월리스 함수에 대한 시험 벡터임을 증명하고, 제타 적분에서의 영이 아님을 보장하는 것.
• GL(2)와 초스피달 표현을 초월하여, U(2,1)의 비초스피달 케이스로 국지적 새로운 형식 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 도수는 K_n 고정 벡터가 비자명한 K_n-고정 벡터 공간이 비자명해지는 최소 n을 통해 계산되며, K_n는 분수 이상의 행렬 원소로 정의된 열린 컴팩트 부분군의 가족이다.
• 보렐 부분군에서의 포물선적 유도 표현의 경우, 도수는 2c(μ₁) + c(μ₂)임을 보이며, 여기서 c(μ_i)는 특성 μ_i의 도수이다.
• 레벨 상승 연산자 θ′을 사용하여, 특히 유도 표현이 비기약일 경우에 유도 표현 내의 일반 부분표현을 식별한다.
• 구체적인 함수로 새로운 형식을 구성하며, 이는 BK_n에 지지가 있는 표현 공간 내에서 이루어지며, 항등원에서의 영이 아님을 증명한다.
• 레벨 상승 연산자 θ′이 새로운 형식 공간 위에서 단사임을 보여 시험 벡터 성질을 확립하고, 이는 월리스 주기의 영이 아님을 암시한다.
• θ′ 및 η 연산자의 작용을 이용하여, n ≥ N_π일 때 올드형식 공간 V(n)의 차원이 ⌊(n − N_π)/2⌋ + 1임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p ≠ 2인 p진 체 위의 비분비단위군 U(2,1)의 비초스피달 일반 표현의 도수는 무엇인가?
• RQ2 U(2,1)의 비초스피달 일반 표현에 대해 새로운 형식은 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 U(2,1)의 비초스피달 표현에 대한 새로운 형식은 월리스 함수에 대한 시험 벡터인가?
• RQ4 n > N_π일 때 K_n 고정 벡터 공간(올드형식)의 차원은 얼마인가?
• RQ5 유도 표현의 도수와 그 유도 특성의 도수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 포물선적 유도 표현 Ind_B^G(μ₁ ⊗ μ₂)의 도수는 2c(μ₁) + c(μ₂)이며, 여기서 c(μ_i)는 특성 μ_i의 도수이다.
• G의 임의의 기약 일반 비초스피달 표현 π에 대해, 새로운 형식 공간 V(N_π)는 일차원이다.
• V(N_π)의 영이 아닌 모든 벡터는 f(1) ≠ 0를 만족하므로 항등원에서의 영이 아님을 보장한다.
• 레벨 상승 연산자 θ′은 V(N_π) 위에서 단사이며, 이는 새로운 형식이 월리스 함수에 대한 시험 벡터임을 암시한다.
• n ≥ N_π일 때 올드형식 공간 V(n)의 차원은 ⌊(n − N_π)/2⌋ + 1이다.
• 새로운 형식은 유도 표현 공간 내 특정 함수의 영이 아닌 배수이며, V(N_π)의 영이 아닌 모든 v에 대해 그 월리스 주기 W_v(1)는 영이 아니다.