[논문 리뷰] Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences

Zhi‐Wei Sun|ArXiv.org|2009. 12. 07.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대수적 수론과 야코비 기호의 성질을 활용하여 소수 거듭제곱 모듈로에서 중심 이항계수와 루카스 수열 간의 새로운 초합동식을 수립한다. 특정한 조건 하에서 루카스 수열과 이항계수의 가중합이 $ p $ 또는 $ p^2 $ 모듈로에서 0이 되며, 이는 $ p $의 합동 조건에 따라 달라진다. 특수한 경우로는 $ p = x^2 + 2y^2 $ 또는 $ p = x^2 + 3y^2 $일 때 명시적인 공식이 존재한다. 이 결과들은 기존의 초합동식을 일반화하고 더 넓은 수열 및 가중치의 가족으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we obtain some congruences involving central binomial coefficients and Lucas sequences. For example, we show that if p>5 is a prime then $\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$ is congruent to 0,1,-1 modulo p according as p=1,4 (mod 5), p=13,17 (mod 30), and p=7,23 (mod 30) respectively, where {F_n} is the Fibonacci sequence. We also raise several conjectures.

연구 동기 및 목표

• 중앙 이항계수와 루카스 수열을 포함하는 기존 초합동식을 새로운 수열 및 가중치의 가족으로 일반화하기 위해.
• 루카스 수열 $ u_n(A,B) $, $ v_n(A,B) $와 중심 이항계수 $ \binom{2k}{k}^h $ 간의 모듈로 산술에서의 상호작용을 조사하기 위해.
• 루카스 수열과 이항계수를 포함하는 가중합이 레지오드 기호 조건에 따라 $ p $ 또는 $ p^2 $ 모듈로에서 0이 되는 결과를 확립하기 위해.
• 펠, 피보나치, 루카스 및 기타 루카스 수열과 이항계수를 포함하는 합에 대한 정확한 $ p^2 $-합동식에 대한 추측을 제시하고 뒷받침하기 위해.
• 대수적 수론과 특성합을 통해 기존의 초합동식 결과, 특히 로드리게스-빌레가스와 모터슨의 결과를 통합하고 확장하기 위해.

제안 방법

• 정수 계수 $ A, B $ 를 갖는 선형 재귀로 정의된 루카스 수열 $ u_n(A,B) $ 및 $ v_n(A,B) $ 와 그 특성방정식 $ x^2 - Ax + B = 0 $ 의 근을 통한 닫힌 형태 표현을 사용하기 위해.
• 제곱 잔여성 조건에 따라 경우를 분류하기 위해 레지오드 기호 $ \big(\frac{\bullet}{p^a}\big) $ 를 적용하며, 여기서 $ \rho = \frac{1}{2}\big(A + \big(A^2 - 4m^2\big)^{1/2}\big) $ 이다.
• 합의 합동 분석을 위해 승법적 특성으로서 야코비 기호 $ \big(\frac{k}{3}\big) $ 와 $ \big(\frac{k}{5}\big) $ 를 사용하여 가중치를 설정하기 위해.
• 특히 $ q $-곱으로 정의된 수열 $ a(n) $ 와 같은 경우에 생성함수와 모듈라 형식을 사용하여 합을 모듈라 형식과 연결하고 합동식을 유도하기 위해.
• $ p $-진 해석학과 그로스-코블리츠 공식에서 알려진 결과를 활용하여 유도된 합동식을 정당화하고 동기를 부여하기 위해.
• 특히 소수 $ p = x^2 + 2y^2 $ 또는 $ p = x^2 + 3y^2 $ 에 대해 수치적 증거와 대수적 수론을 기반으로 한 추측을 수립하며, 이는 $ x $, $ y $, $ p/x $ 를 포함하는 명시적인 $ p^2 $-합동식을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ A, m, p, a $ 에 대한 어떤 조건에서 합 $ \textstyle\binom{2k}{k}^h u_k(A, m^2) / (m^k (-4)^{hk}) $ 가 $ k = 0 $ 에서 $ p^a - 1 $ 까지의 범위에서 $ p $ 모듈로에서 0이 되는가?
• RQ2 $ (A+\rho)/p^a $ 와 $ 2m/p^a $ 에 대한 레지오드 기호 조건이 $ u_k $ 또는 $ v_k $ 를 포함하는 합이 $ p $ 모듈로에서 0이 되는지 결정하는 방식은 무엇인가?
• RQ3 $ p \neq 2 $ 일 때 피보나치, 루카스, 펠 및 관련 수열과 중심 이항계수를 포함하는 합에 대한 정확한 $ p^2 $-합동식은 무엇인가?
• RQ4 $ p $ 가 $ x^2 + 2y^2 $ 또는 $ x^2 + 3y^2 $ 로 표현될 때, 이는 $ Q_k $, $ S_k $, 또는 $ T_k $ 와 이항계수의 합에 대한 $ p^2 $-합동식의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k $ 를 $ F_{2k} $, $ L_{2k} $, $ P_k $, 또는 $ Q_k $ 로 가중한 합이 특정한 $ p $ 의 합동 조건 하에서 $ p $ 또는 $ p^2 $ 모듈로에서 0이 되는가를 보일 수 있는가?

주요 결과

• $ p \not\big| m $ 이고 $ (A+\rho)/p^a = \big(\frac{2m}{p^a}\big) $ 이면, $ k = 0 $ 에서 $ p^a - 1 $ 까지의 합 $ \textstyle\binom{2k}{k}^h u_k(A, m^2) / (m^k (-4)^{hk}) $ 는 $ p $ 모듈로에서 0이 된다.
• $ (A+\rho)/p^a = -\big(\frac{2m}{p^a}\big) $ 이면, $ v_k $ 를 포함하는 해당 합은 $ p $ 모듈로에서 0이 된다.
• $ p \neq 3 $, $ p \neq 5 $, $ p \neq 2 $ 이고, $ p \not\big| 5 $, $ p \neq 2 $ 일 때, $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k $ 를 $ F_{2k} $ 로 가중한 합은 특정한 합동 조건 하에서 $ p $ 모듈로에서 0이 된다.
• $ p \neq 2 $ 이면, $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 32^k $ 를 $ P_k $ 로 가중한 합은 $ p^2 $ 모듈로에서 0이 되며, $ p \neq 2 $ 이고 $ p \neq 8 $ 이면 $ p $ 모듈로에서 0이 된다.
• $ p \neq 3 $, $ p \neq 2 $, $ p \neq 5 $ 이면, $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 64^k $ 를 $ S_k $ 로 가중한 합은 $ p \neq 2 $ 이면 $ p^2 $ 모듈로에서 0이 되며, $ p \neq 3 $ 이면 $ p $ 모듈로에서 0이 된다.
• $ p = x^2 + 2y^2 $ 이고 $ x \neq 0 \bmod 8 $ 이면, $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / (-8)^k $ 를 $ Q_k $ 로 가중한 합은 $ 4x - p/x $ 를 포함하는 $ p^2 $-합동식을 만족하며, 이는 부호와 값이 $ (p-1)/8 $ 또는 $ (y+1)/2 $ 에 따라 결정된다.