[논문 리뷰] Congruences involving Franel and Catalan-Larcombe-French numbers

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 09.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초함수 항등식과 모듈라 형식을 사용하여 소수 모듈로에서 Franel 수와 Catalan-Larcombe-French 수를 포함하는 새로운 합동식을 수립한다. 특정 가중치 합이 소수 p를 이元 이차형식으로 표현하는 방식, 예를 들어 $ p = x^2 + 5y^2 $ 또는 $ p = x^2 + 15y^2 $와 같이 결정됨을 증명하며, 이는 이전의 추측에 대한 부분적인 해결을 제공한다.

ABSTRACT

Let $\{f_n\}$ be the Franel numbers given by $f_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^3$, and let $p>5$ be a prime. In this paper we mainly determine $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{f_k}{m^k}\pmod p$ for $m=5,-16,16,32,-49,50,96$. Let $S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$. We also determine $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{S_k}{m^k}\pmod p$ for $m=7,16,25,32,64,160,800,1600, 156832$.

연구 동기 및 목표

• 소수 $ p > 5 $ 에 대해 Franel 수 $ f_n = inom{n}{k}^3 $ 모듈로 $ p $ 에 대한 합동식에 관한 추측을 해결하는 것, 특히 $ extstyleinom{2k}{k} f_k / m^k $ 형태의 합을 포함한다.
• Catalan-Larcombe-French 수 $ S_n $ 에 대한 합에 관한 결과를 확장하는 것, 여기서 $ S_n $ 은 $ extstyleinom{n}{k} inom{2k}{k} inom{2n-2k}{n-k} $ 로 정의된다.
• 이러한 합과 소수를 $ p = x^2 + dy^2 $ 로 표현하는 것 사이의 연결 고리를 설정하는 것, 특히 $ d = 5, 15, 6, 7, 11, 19, 43, 67, 163 $ 에 대해 레이지드 색소 기반 조건을 통해.
• 특정 초함수 유형의 합이 모듈로 $ p $ 에서 $ 4x^2 $ 또는 $ 0 $ 으로 결정됨을 증명하는 것, 이는 $ p $ 가 특정 허수 이차체에서 분할되는지 여부에 따라 달라진다.
• 이전의 Apéry-유사 수열에 관한 결과를 일반화하고 생성함수 및 모듈라 항등식을 사용하여 통합된 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 핵심 항등식 유도: $ extstyleinom{2k}{k} ig( rac{m}{(m+8)^2} ig)^k f_k riangleq inom{2k}{k}^2 inom{3k}{k} ig( rac{m}{(m+4)^3} ig)^k mod p $, Franel 수와 초함수 항목을 연결한다.
• 모듈라 형식 이론과 초함수 변환을 적용하여 $ k = 0 $ 에서 $ p-1 $ 까지의 합을 $ p $ 의 계수 조건과 연결한다.
• 레이지드 색소 $ ig( rac{D}{p} ig) $ 를 사용하여 $ p $ 가 $ ext{Q}( ext{--}D) $ 에서 분할되는지 여부를 판단하며, 이는 합의 모듈로 $ p $ 값에 영향을 준다.
• 생성함수 $ C_k(t) $ 와 $ S_n(x) $ 를 사용하여 합의 구조를 일반화하고 Domb 및 Almkvist-Zudilin 수와 같은 알려진 수열과 연결한다.
• Sun(2013)과 Jarvis-Verrill(2003)의 알려진 정리를 적용하여 합을 모듈로 $ p $ 에서 알려진 합동식으로 줄이고, 특히 $ ext{mod } p^2 $ 결과를 사용한다.
• 항등식 $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{m^k} mod p $ 를 사용하여 합을 $ p $ 가 $ x^2 + dy^2 $ 로 표현되는지 여부에 따라 결정되는 형태로 줄인다, 여기서 $ d eq 1 $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 정수 $ m eq 0 $ 에 대해, $ p = x^2 + dy^2 $ 일 때 $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{m^k} mod p $ 가 $ x^2 $ 로 표현될 수 있는가?
• RQ2 $ d = 7, 11, 19, 43, 67, 163 $ 에 대해, $ extstyleinom{2k}{k} rac{S_k}{m^k} mod p $ 가 $ ext{Q}( ext{--}d) $ 에서 $ p $ 의 분할 행동에 의해 완전히 결정될 수 있는가?
• RQ3 $ extstyleinom{2k}{k} ig( rac{m}{(m+8)^2} ig)^k f_k riangleq inom{2k}{k}^2 inom{3k}{k} ig( rac{m}{(m+4)^3} ig)^k mod p $ 이 모든 $ m ot riangleq 0, -8, -4 mod p $ 에 대해 성립하는가?
• RQ4 $ p = x^2 + 7y^2 $ 이고 $ ig( rac{-15+4t}{p} ig) = 1 $ 일 때, $ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k(t)}{(4t - 4n)^k} mod p $ 가 $ 4x^2 $ 와 같아지는가?
• RQ5 $ n eq 0, 12 $ 일 때, 추측 $ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k}{(n-12)^k} mod p^2 riangleq ig( rac{n(n-12)}{p} ig) extstyleinom{2k}{k} inom{3k}{k} inom{6k}{3k} / n^{3k} mod p^2 $ 가 $ p^2 $ 모듈로에서 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 소수 $ p > 5 $ 에 대해, $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{(-16)^k} mod p riangleq 4x^2 $ 이다. 만약 $ p = x^2 + 9y^2 $ 이면 성립하며, $ p riangleq 3 mod 4 $ 이면 $ 0 $ 이다.
• $ m = 16 $ 일 때, $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{16^k} mod p riangleq 4x^2 $ 이다. 만약 $ p = x^2 + 5y^2 $ 이면 성립하며, $ p riangleq 2 mod 3 $ 이면 $ 0 $ 이다.
• $ m = 5 $ 일 때, $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{5^k} mod p riangleq 4x^2 $ 이다. 만약 $ p = x^2 + 15y^2 $ 이고 $ x, y eq 0 mod p $ 이면 성립한다.
• $ m = 32 $ 일 때, $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{32^k} mod p riangleq 4x^2 $ 이다. 만약 $ p = x^2 + 6y^2 $ 이면 성립하며, 그 외에는 $ 0 $ 이다.
• $ extstyleinom{2k}{k} rac{S_k}{m^k} mod p $ 의 합은 $ p = x^2 + 7y^2 $ 이고 $ p riangleq 1,2,4 mod 7 $ 이면 $ 4x^2 $ 이며, 그 외에는 $ 0 $ 이다.
• $ m = 160080 $ 일 때, $ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k(t)}{(4t - 640320)^k} mod p riangleq x^2 $ 이다. 만약 $ p = x^2 + 163y^2 $ 이고 $ ig( rac{p}{163} ig) = 1 $ 이면 성립하며, 그 외에는 $ 0 $ 이다.