[논문 리뷰] Congruences involving generalized central trinomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 23.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 중심 삼항계수 $ T_n(b,c) $와 일반화된 모츠킨 수 $ M_n(b,c) $를 포함하는 새로운 합동식을 수립하며, 소수의 거듭제곱 모듈로에서 가중치가 부여된 합이 레지오드 기호와 이차 잔여물과 깊이 연결된 깊은 산술적 구조를 보임을 증명한다. 주요 기여는 중심 삼항계수 및 모츠킨 수에 대한 고전 결과를 확장한 $ p $ 및 $ p^2 $ 모듈로에 대한 정확한 합동식으로, $  inom{2k}{k} $, 조화수, 레지오드 기호를 포함한 명시적 공식을 수반한다.

ABSTRACT

For integers $b$ and $c$ the generalized central trinomial coefficient $T_n(b,c)$ denotes the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(x^2+bx+c)^n$. Those $T_n=T_n(1,1)\ (n=0,1,2,\ldots)$ are the usual central trinomial coefficients, and $T_n(3,2)$ coincides with the Delannoy number $D_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k$ in combinatorics. We investigate congruences involving generalized central trinomial coefficients systematically. Here are some typical results: For each $n=1,2,3,\ldots$ we have $$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)T_k(b,c)^2(b^2-4c)^{n-1-k}\equiv0\pmod{n^2}$$ and in particular $n^2\mid\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)D_k^2$; if $p$ is an odd prime then $$\sum_{k=0}^{p-1}T_k^2\equiv\left(\frac{-1}p ight)\ \pmod{p}\ \ \ { m and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}D_k^2\equiv\left(\frac 2p ight)\ \pmod{p},$$ where $(-)$ denotes the Legendre symbol. We also raise several conjectures some of which involve parameters in the representations of primes by certain binary quadratic forms.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 중심 삼항계수 $ T_n(b,c) $와 일반화된 모츠킨 수 $ M_n(b,c) $의 산술적 성질을 조사하여, 고전적인 중심 삼항계수 및 모츠킨 수를 확장한다.
• $ T_n(b,c) $, $ M_n(b,c) $ 및 그 곱의 합에 대해 $ p $ 및 $ p^2 $ 모듈로에서 $ d = b^2 - 4c $와 $ m $-거듭제곱을 포함한 가중치를 가진 새로운 합동식을 수립한다.
• 매개변수 $ b, c $를 도입하여 중심 삼항계수 및 모츠킨 수에 대한 기존 결과를 일반화하고, 레지오드 다항식 및 데라노와 수와의 연결을 탐색한다.
• 소수의 거듭제곱 $ p^3 $, $ p^4 $ 및 선형 가중치를 포함한 합에 대해 고차 합동식에 대한 추측을 제시하고, $ p $-진 값에서 관찰된 패턴에 기반한다.
• 생성함수와 초함수 항등식을 사용한 매개변수화된 프레임워크를 도입하여 이전의 중심 삼항계수 및 모츠킨 수 합동식 연구를 통합하고 확장한다.

제안 방법

• $ T_n(b,c) $와 $ M_n(b,c) $의 생성함수를 유도하며, $ d = b^2 - 4c $일 때 $ T_n(b,c) $에 대해 $ rac{1}{insqrt{1 - 2bx + dx^2}} $과 $ M_n(b,c) $에 대해 관련 대수적 표현을 제시한다.
• 제일버거 알고리즘을 사용하여 $ M_n(b,c) $의 재귀관계를 유도하고, $ T_n(b,c) $에 대한 알려진 재귀관계를 활용해 $ p $-진 행동을 분석한다.
• 레지오드 기호 $ ig(rac{a}{p}ig) $를 사용하여 $ p $ 모듈로에서의 합동식을 특성화하며, 특히 $ rac{T_k(b,c)}{m^k} $ 및 $ rac{M_k(b,c)}{m^k} $를 포함한 합에 적용한다.
• $ T_n(b,c) = ( ext{판별식})^{n/2} P_n(b/ ext{판별식}) $라는 항등식을 사용하여 $ T_n(b,c) $를 레지오드 다항식 $ P_n(x) $와 연결함으로써, $ p $ 모듈로에서의 합 계산이 가능해진다.
• 초함수 합과 $ p $-진 분석 이론을 활용하여 $ p^2 $ 모듈로에서의 합동식을 유도하며, 특히 $ rac{T_k^2}{d^k} $, $ rac{T_k M_k}{d^k} $ 및 가중치가 부여된 합에 초점을 맞춘다.
• 수치 패턴과 기존 항등식에 기반하여 추측을 제안하며, 특히 $ T_n(b,c)^3 $, $ T_n(b,c)^2 M_n(b,c) $ 및 선형 가중치 $ (ak+b) $를 포함한 합에 대해 $ p^2 $, $ p^3 $, $ p^4 $ 모듈로에서의 고차 합동식을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ \frac{T_k(b,c)}{m^k} $의 $ p $ 모듈로 합동성은 무엇이며, 레지오드 기호 $ \big(\frac{(m-b)^2 - 4c}{p}\big) $에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 $ \frac{M_k(b,c)}{m^k} $의 합은 $ p $ 모듈로에서 어떻게 행동하는가? 그리고 판별식 $ (m-b)^2 - 4c $는 그 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $ \frac{T_k(b,c)^2}{d^k} \bmod p $의 값은 무엇이며, 레지오드 기호 $ \big(\frac{cd}{p}\big) $와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $ b \not\to 2c \bmod p $일 때, $ \frac{T_k(b,c)M_k(b,c)}{d^k} \bmod p $의 합이 특정 조건 하에서 0이 되는가를 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ5 $ \frac{T_k(b,c)^3}{(b-2c)^{3k}} \bmod p^2 $에 대해 어떤 고차 합동식이 도출되며, 이는 이차형식에서 소수의 분할에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 모든 홀수 소수 $ p $에 대해, $ \frac{1}{m^k} $-가중치 합 $ T_k(b,c) $의 $ p $ 모듈로에서 $ \textstyle\big(\frac{(m-b)^2 - 4c}{p}\big) $에 의해 결정되며, 이는 이차 잔여물과 연결된다.
• $ m^{-k} $-가중치 합 $ M_k(b,c) $의 $ p $ 모듈로에서의 합은 $ (m-b)^2 - ((m-b)^2 - 4c)\big(\frac{(m-b)^2 - 4c}{p}\big) $에 의해 스케일링되며, 이는 $ 2c $에 비례한다.
• $ \textstyle\frac{T_k(b,c)^2}{d^k} \bmod p $의 합은 $ d \not\to 0 \bmod p $일 경우 $ \big(\frac{cd}{p}\big) $에 합동이다.
• $ b \not\to 2c \bmod p $일 경우, $ \textstyle\frac{T_k(b,c^2)^2}{(b-2c)^{2k}} \bmod p $의 합은 $ \big(\frac{-c^2}{p}\big) $에 합동이다.
• $ p \nmid c $ 및 $ d \not\to 0 \bmod p $일 경우, $ \textstyle\frac{T_k(b,c)M_k(b,c)}{d^k} \bmod p $의 합은 0이 되며, 이는 깊은 산술적 상쇄를 나타낸다.
• $ D = b^2 - 4c^2 \not\to 0 \bmod p $일 경우, $ \textstyle\frac{T_k(b,c^2)M_k(b,c^2)}{(b-2c)^{2k}} \bmod p $의 합은 $ \frac{4b}{b+2c} \big(\frac{D}{p}\big) $에 합동이다.