[논문 리뷰] Conjectures involving arithmetical sequences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 수론적 및 조합적 수열에서 유도된 수열의 단조성에 관한 30개의 추측을 제안한다. 특히 $a_n$이 양의 정수 수열일 때 $(\sqrt[n]{a_n})_{n \geq 1}$ 및 $(\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n})_{n \geq 1}$의 행동에 초점을 맞추며, 주요 기여는 Firoozbakht의 추측과 Artin의 원시근 추측을 확장하는 통합적 추측 프레임워크를 제공하고 특정 경우에 대해 광범위한 수치적 검증을 수행한 것이다.

ABSTRACT

We pose thirty conjectures on arithmetical sequences, most of which are about monotonicity of sequences of the form $( oot n\of{a_n})_{n\ge 1}$ or the form $( oot{n+1}\of{a_{n+1}}/ oot n\of{a_n})_{n\ge1}$, where $(a_n)_{n\ge 1}$ is a number-theoretic or combinatorial sequence of positive integers. This material might stimulate further research.

연구 동기 및 목표

• Firoozbakht의 추측, 즉 $\sqrt[n]{p_n}$의 엄격한 감소성을 소수의 등차수열 및 원시근에 대해 더 넓은 수열 클래스로 확장하고자 한다.
• Franel, Apéry, Domb, Schröder 수와 같은 조합 수열에 대해 $\sqrt[n]{a_n}$ 및 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$의 단조적 행동을 조사하고자 한다.
• Mandl의 부등식과 같은 알려진 부등식의 개선 및 일반화를 제안하고, 소수의 합 및 관련 수열에 대해 적용하고자 한다.
• 수열의 성장률과 깊이 있는 수론적 추측, 예를 들어 Artin의 원시근 추측 및 Schinzel의 가설 H 사이의 관계를 탐구하고자 한다.
• 산술 수열의 로그-볼록성, 로그-오목성, 점근적 단조성에 관한 향후 연구를 자극할 수 있는 30개의 추측을 체계적으로 제시하고자 한다.

제안 방법

• 수치적 증거와 알려진 부등식의 유사성에 기반하여, 소수, 원시근, 조합 수열에서 유도된 수열 $a_n$에 대해 $\sqrt[n]{a_n}$의 엄격한 감소성에 관한 추측을 제안한다.
• 변환: $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$가 1로 수렴하면서 엄격히 증가하면, $\sqrt[n]{a_n}$는 엄격히 감소한다.
• 수치적 검증을 통해 $n = 10^6$까지 및 소수 $4 \times 10^{18}$ 이하까지 $p_n^\alpha$ 및 $\sqrt[n]{S_n}$에 대한 추측을 지지한다.
• 로그 보정을 사용한 Firoozbakht의 추측의 개선을 도입하여, 예를 들어 $\sqrt[n+1]{p_{n+1}} / \sqrt[n]{p_n} < 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$와 같은 형태의 추측을 제안하고 광범위한 계산적 검증을 수행한다.
• Artin의 추측을 일반화하여, 주어진 최소 또는 최대 음의 원시근을 갖는 소수 수열이 $\sqrt[n]{p_n(a)} > \sqrt[n+1]{p_{n+1}(a)}$를 만족한다고 추측하며, $a = -2$, $n = 13$을 제외한 경우에만 예외가 존재한다.
• Franel, Apéry, Domb, 그리고 Catalan-Larcombe-French 수와 같은 조합 수열에 대해 비율 수열 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$의 단조성에 관한 추측을 제안하며, 명시적인 임계값 $N(r)$ 또는 $M(r)$을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Firoozbakht의 추측에 따르면 $\sqrt[n]{p_n}$이 모든 $n \geq 1$에 대해 엄격히 감소한다. 이는 등차수열의 소수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 비율 $\sqrt[n+1]{p_{n+1}} / \sqrt[n]{p_n}$이 모든 $n > 4$에 대해 개선된 부등식 $< 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$을 만족하는가?
• RQ3 주어진 비제곱수 $a$에 대해, $p_n(a)$가 $a$를 원시근으로 갖는 $n$번째 소수일 때, 충분히 큰 $n$에 대해 수열 $\sqrt[n]{p_n(a)}$는 엄격히 감소하는가?
• RQ4 Franel, Apéry, Domb, Schröder 수와 같은 조합 수열에 대해 비율 수열 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$은 엄격히 감소하고 1로 수렴하는가?
• RQ5 합 $\sum_{k=0}^{p-1} P_k / 8^k \mod p^3$ 및 $\sum_{k=0}^{p-1} P_k / 16^k \mod p^3$과 관련된 합동식은 $P_n$의 단조성에 의해 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 추측 2.1은 $\alpha > 0$일 때, 평균 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n p_k^\alpha < \frac{p_n^\alpha}{\alpha+1}$가 모든 $n \geq 2\lceil\alpha\rceil^2 + \lceil\alpha\rceil + 6$에 대해 성립한다고 주장하며, $\alpha = 2$에서 $700$까지 및 $n \leq 10^6$까지 수치적으로 검증되었다.
• 추측 2.2는 Firoozbakht의 추측을 개선하여 $\frac{\sqrt[n+1]{p_{n+1}}}{\sqrt[n]{p_n}} < 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$이 모든 $n > 4$에 대해 성립한다고 주장하며, $n = 3,500,000$까지 및 $4 \times 10^{18}$ 이하의 소수까지 검증되었다.
• 추측 2.3은 Firoozbakht의 추측을 등차수열의 소수로 확장한다: $\sqrt[n]{p_n(a,q)}$는 $n \geq n_0(a,q)$에서 엄격히 감소하며, $q \leq 45$일 경우 $n_0(a,q) = 2$이지만, 작은 $n$에 대해서는 예외가 존재한다.
• 추측 2.4는 비제곱수 $a$에 대해, $a > 0$이면 수열 $\sqrt[n]{p_n(a)}$는 엄격히 감소하며, $a < 0$이면 $a = -2$, $n = 13$을 제외한 경우에 해당한다. 또한 비율 수열 $\sqrt[n+1]{P_{n+1}(a)} / \sqrt[n]{P_n(a)}$는 1로 엄격히 증가한다.
• 추측 3.10은 Apéry 수 $A_n^{(r)}$에 대해 비율 수열 $\sqrt[n+1]{A_{n+1}^{(r)}} / \sqrt[n]{A_n^{(r)}}$가 $n \geq M(r)$에서 엄격히 감소한다고 주장하며, $r \leq 16$일 경우 $M(r) = 1$, $M(17) = M(18) = M(19) = 9$, $M(20) = 12$이다.
• 추측 3.13은 Catalan-Larcombe-French 수 $P_n$이 $\sqrt[n]{P_n}$은 엄격히 증가하고 $\sqrt[n+1]{P_{n+1}} / \sqrt[n]{P_n}$은 엄격히 감소한다고 주장하며, 오일러 수를 포함한 $p^3$ 모듈로 합동식이 이를 뒷받침한다.