[논문 리뷰] Conjugacy growth series of some infinitely generated groups

Roland Bacher, De La Harpe, Pierre|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 25.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한 생성군, 특히 유한성 대칭군과 그 와일러 곱에 대한 공轭 성장 시리즈를 계산하며, 전치 생성자를 갖는 유한성 대칭군의 공轭 성장 시리즈가 분할 함수 생성 시리즈와 일치함을 보여준다. 분할 계수에 대한 일반화된 라마누잔 유사 합동식을 수치적 증거와 함께 제시하며, 반정규 그래프의 일반화인 분할 완전 그래프의 개념을 도입한다.

ABSTRACT

It is observed that the conjugacy growth series of the infinite fini-tary symmetric group with respect to the generating set of transpositions is the generating series of the partition function. Other conjugacy growth series are computed, for other generating sets, for restricted permutational wreath products of finite groups by the finitary symmetric group, and for alternating groups. Similar methods are used to compute usual growth polynomials and conjugacy growth polynomials for finite symmetric groups and alternating groups, with respect to various generating sets of transpositions. Computations suggest a class of finite graphs, that we call partition-complete, which generalizes the class of semi-hamiltonian graphs, and which is of independent interest. The coefficients of a series related to the finitary alternating group satisfy congruence relations analogous to Ramanujan congruences for the partition function. They follow from partly conjectural "generalized Ramanujan congruences", as we call them, for which we give numerical evidence in Appendix C.

연구 동기 및 목표

• 무한 생성군, 특히 유한성 대칭군과 그 와일러 곱에 대한 공轭 성장 시리즈를 계산하기.
• 무한군 설정에서 공轭 성장 시리즈와 분할 함수 사이의 관계를 탐구하기.
• 무한 대칭군에서 공轭 성장에 기인한 분할 계수에 대한 일반화된 라마누잔 합동식을 조사하기.
• 반정규 그래프의 일반화인 분할 완전 그래프의 클래스를 도입하고 연구하기.
• 다양한 전치 생성 집합에 대해 유한 대칭군과 대칭군의 공轭 성장 다항식과 단어 성장 다항식을 비교하기.

제안 방법

• 군 G와 생성 집합 S에 대해 공轭 길이 함수 κG,S(g)를 정의하여, 최소 공轭 단어 길이가 n인 공轭류의 수 γG,S(n)를 정의한다.
• 공轭 성장 시리즈 CG,S(q) = ∑γG,S(n)qn을 정의하며, 조건 (Fin)을 만족하는 무한 생성 집합을 갖는 군에 초점을 맞춘다.
• 생성 함수 기법을 적용하여, 전치 생성자를 갖는 유한성 대칭군의 공轭 성장 시리즈가 오일러 함수 ∏(1−qj)−1임을 보여준다.
• 유한체 Fp 위에서의 계산 방법을 활용하여, 분할 계수에 대한 일반화된 라마누잔 합동식을 탐지하며, 차수 5000까지의 급수 전개를 사용한다.
• 작은 정수 a ∈ {2,3,4,6,8}의 약수 집합에 대해 지수 조합을 체계적으로 검토하기 위해 맵래이 프로그램을 사용하여 후보 합동식을 식별한다.
• 순환 유형과 전치 생성 집합의 조합적 분석을 통해 분할 완전 그래프의 개념을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 전치 생성자를 갖는 유한성 대칭군의 공轭 성장 시리즈는 무엇인가?
• RQ2 유한군의 유한성 대칭군에 대한 제한된 순열 와일러 곱의 공轭 성장 시리즈는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 유한성 대칭군의 공轭 성장 시리즈 계수는 라마누잔 유사 합동식을 만족하는가?
• RQ4 계산 대수 기법을 통해 분할 계수에 대한 일반화된 라마누잔 합동식을 체계적으로 식별할 수 있는가?
• RQ5 최근 정의된 분할 완전 그래프의 클래스는 어떤 조합적 의미를 갖는가?

주요 결과

• 전치 생성자를 갖는 유한성 대칭군의 공轭 성장 시리즈는 분할 함수의 생성 함수와 일치한다: CG,S(q) = ∏j≥1(1−qj)−1.
• 유한성 대칭군의 경우, 공轭 성장 시리즈 계수는 분할 함수에 대한 라마누잔의 합동식과 유사한 합동 관계를 만족한다.
• 수치적 증거는 소수 모듈로에 대한 일반화된 라마누잔 합동식의 존재를 지지하며, 특히 11과 13 모듈로에 대해 특정 잔여류와 지수 튜플이 존재함을 보여준다.
• 논문은 많은 수의 후보 일반화된 라마누잔 합동식을 식별하여, 이들이 드문 것이 아니라 흔하다는 것을 시사한다.
• 반정규 그래프의 일반화로 도입된 분할 완전 그래프의 클래스는 전치 생성 대칭군의 조합론에서 자연스럽게 나타난다.
• 차수 5000까지의 계산적 검증에서 잘못된 양성 결과는 발견되지 않아, 추측된 합동식의 신뢰성을 뒷받침한다.