[논문 리뷰] Conjugacy growth series of some wreath products

Valentin Mercier|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 25.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $L$의 카이리 그래프가 나무와 유사한 경우, $G\wr\mathbb{Z}$ 및 $G\wr(C_2*C_2)$의 공轭 성장 시리즈에 대한 명시적 공식을 유도한다. 공轭 성장 시리즈의 수렴 반경이 표준 성장 시리즈의 수렴 반경과 일치함을 증명하고, 람플라이터 군 $C_2\wr\mathbb{Z}$의 공轭 성장 시리즈가 $\mathbb{Q}(z)$ 위에서 초월적임을 확인하여 渐近 성장률의 등가성을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we consider groups of the form $G\wr L$, where the set of generators naturally extends the sets of generators of $G$ and $L$, and $L$ admits a Cayley graph that is a tree. We show how one can compute the conjugacy growth series of such groups in terms of the standard and conjugacy growth series of $G$. We then provide explicit formulas for groups of the form $G\wr \mathbb{Z}$ and $G\wr (C_2*C_2)$. We also prove that the radius of convergence of the conjugacy growth series of $G\wr L$, for any $G$ and $L$ as above, is the same as the radius of convergence of its standard growth series.

연구 동기 및 목표

• 카이리 그래프가 나무인 $G\wr L$의 공轭 성장 시리즈를 계산하는 것.
• $G$ 및 $L$의 표준 성장 시리즈와 공轭 성장 시리즈 사이의 관계를 설정하는 것.
• $G\wr\mathbb{Z}$ 및 $G\wr(C_2*C_2)$에 대한 명시적 공식을 제공하는 것.
• 특히 람플라이터 군에 대해 공轭 성장의 渐近 행동을 분석하는 것.
• 이러한 와이어드 제품에 대해 공轭 성장 시리즈의 수렴 반경이 표준 성장 시리즈의 수렴 반경과 일치함을 확인하는 것.

제안 방법

• L의 카이리 그래프가 나무와 유사한 경우, 와이어드 제품에서 최소 길이 공轭 대표자의 구조를 이용한다.
• Matveev(1966)의 공轭 기준을 적용하여, L 내의 '커서' 위치에 따라 공轭류를 분류한다.
• 생성 함수 기법과 형식적 멱급수를 사용하여, 공轭 성장을 G의 표준 성장 시리즈로 표현한다.
• L의 카이리 그래프가 나무일 경우, G\wr L의 표준 성장 시리즈에 관한 Parlier(1992)의 결과를 활용한다.
• L 내의 자명한, 유한 차수의, 무한 차수의 커서 위치 기여를 분리한다.
• 모비우스 역전 및 오일러의 파이 함수 $\phi(r)$를 사용하여 원점을 포함하는 유한한 부분나무 위에서 L의 왼쪽 작용에 의한 궤도를 세는 데 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L의 카이리 그래프가 나무일 경우, $G\wr L$의 공轭 성장 시리즈는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 공轭 성장 시리즈의 수렴 반경과 $G\wr L$의 표준 성장 시리즈 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $G\wr\mathbb{Z}$ 및 $G\wr(C_2*C_2)$의 공轭 성장 시리즈에 대해 명시적 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 람플라이터 군 $C_2\wr\mathbb{Z}$의 공轭 성장 시리즈는 $\mathbb{Q}(z)$ 위에서 초월적인가?
• RQ5 $G\wr L$의 공轭류 수의 渐近 성장은 $G$ 및 $L$의 성장과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• $G\wr\mathbb{Z}$의 공轭 성장 시리즈는 $\tilde{\sigma}_{(G,Y)}(z)$, $\tilde{\sigma}_{(G,Y)}(z^2)$ 및 $\phi(r)/r$ 항의 합을 포함하는 공식으로 주어진다.
• $G\wr(C_2*C_2)$의 경우, 공轭 성장 시리즈는 세 부분으로 표현된다: $\phi(r)/r$ 및 $\sigma_{(G,Y)}(z^r)^{2s}$를 포함하는 항, $z$에 대한 선형 항, 대칭 부분나무 기여를 포함하는 항.
• $C_2\wr\mathbb{Z}$의 공轭류 수의 渐近 성장은 $[z^m]\tilde{\sigma}_{(C_2\wr\mathbb{Z},\vec{Y})}(z) \sim \frac{2}{m}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^m$를 만족하여 지수적 성장을 나타낸다.
• $C_2\wr\mathbb{Z}$의 공轭 성장 시리즈는 점근적 추정과 Flajolet(1987)의 결과를 통해 $\mathbb{Q}(z)$ 위에서 초월적임을 입증하였다.
• 모든 $G$ 및 $L$에 대해 카이리 그래프가 나무와 유사한 경우, $G\wr L$의 공轭 성장 시리즈의 수렴 반경은 표준 성장 시리즈의 수렴 반경과 일치한다.
• $G\wr L$의 공轭 성장 시리즈는 자명한, 유한 차수의, 무한 차수의 커서 위치 기여로 분해되며, 각 기여는 L의 왼쪽 작용에 의한 궤도 수를 세는 방식으로 처리된다.