[논문 리뷰] Constant-Soundness Interactive Proofs for Local Hamiltonians

Anand Natarajan, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소 해밀토니안 문제에 대한 일정한 오류 확률을 갖는 양자 다중증인자 상호작용 증명 체계를 제시한다. 비국소적으로 얽힌 증인자를 검증하기 위해 양자 선형성 테스트를 사용한다. 이 프로토콜은 지면 상태 에너지의 약속 갭에 비례하는 직접적인 오류 확률 갭을 달성하여, 일정한 갭과 일정한 답변 길이를 갖는 양자 PCP 정리로 향하는 핵심 단계를 제공한다.

ABSTRACT

$ ewcommand{\Xlin}{\mathcal{X}} ewcommand{\Zlin}{\mathcal{Z}} ewcommand{\C}{\mathbb{C}} $We give a quantum multiprover interactive proof system for the local Hamiltonian problem in which there is a constant number of provers, questions are classical of length polynomial in the number of qubits, and answers are of constant length. The main novelty of our protocol is that the gap between completeness and soundness is directly proportional to the promise gap on the (normalized) ground state energy of the Hamiltonian. This result can be interpreted as a concrete step towards a quantum PCP theorem giving entangled-prover interactive proof systems for QMA-complete problems. The key ingredient is a quantum version of the classical linearity test of Blum, Luby, and Rubinfeld, where the function $f:\{0,1\}^n o\{0,1\}$ is replaced by a pair of functions $\Xlin, \Zlin:\{0,1\}^n o ext{Obs}_d(\C)$, the set of $d$-dimensional Hermitian matrices that square to identity. The test enforces that (i) each function is exactly linear, $\Xlin(a)\Xlin(b)=\Xlin(a+b)$ and $\Zlin(a) \Zlin(b)=\Zlin(a+b)$, and (ii) the two functions are approximately complementary, $\Xlin(a)\Zlin(b)\approx (-1)^{a\cdot b} \Zlin(b)\Xlin(a)$.

연구 동기 및 목표

• 국소 해밀토니안 문제에 대해 일정한 오류 확률을 갖는 양자 다중증인자 상호작용 증명 체계를 개발하기.
• 해밀토니안의 정규화된 지면 상태 에너지에서의 약속 갭에 비례하는 오류 확률 갭을 달성하기.
• 일정한 답변 길이와 다항식 길이의 질문 길이를 갖는 프로토콜을 구성하여, 양자 PCP 정리로 향하는 구체적인 단계를 제공하기.
• 블룸, 루비, 루빈펠드의 고전적 선형성 테스트를 비가환 파울리 유사 연산자들을 포함하는 양자 환경으로 일반화하기.
• 텐서화를 통해 국소 해밀토니안 문제의 갭을 증폭시켜 비국소적 사례에서 일정한 갭 검증을 가능하게 하기.

제안 방법

• 함수 X와 Z가 비트스트링을 d차원 에르미트 행렬로 매핑하고, X(a)X(b) = X(a+b) 및 Z(a)Z(b) = Z(a+b)를 만족하도록 하는 양자 선형성 테스트를 도입하여 선형성을 강제한다.
• X와 Z 사이의 보완성을 관계 X(a)Z(b) ≈ (−1)^{a·b} Z(b)X(a)를 통해 강제하여 표준 교환관계를 모방한다.
• 고전적 질문과 일정 길이의 양자 답변을 사용하는 단일 라운드 상호작용 프로토콜을 설계하며, 인코딩 테스트와 에너지 측정 테스트를 활용한다.
• 하이브리드 전략을 적용: 확률 (1−p) 동안 인코딩 테스트를 통해 논리적 파울리 연산자를 검증하고, 확률 p 동안 지면 상태에서 에너지 측정 테스트를 수행한다.
• 해밀토니안을 텐서화하여 갭 증폭 절차를 적용함으로써, 작은 에너지 갭을 갖는 사례를 일정한 갭을 갖는 비국소적 사례로 변환한다.
• 기존 결과에 기반해 QMA ⊆ MIP*임을 활용하고, 에너지 테스트 확률 p = Θ(δ^c)로 조정함으로써 일정한 오류 확률을 달성하는 프로토콜을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 해밀토니안 문제에 대해 일정한 오류 확률과 일정한 답변 길이를 갖는 양자 다중증인자 상호작용 증명 체계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 비아벨 연산자에 대해 선형성과 보완성을 동시에 강제할 수 있는 양자 선형성 테스트를 설계할 수 있는가? 이는 논리적 파울리 연산을 검증할 수 있어야 한다.
• RQ3 프로토콜의 오류 확률 갭을 해밀토니안의 지면 상태 에너지에서의 약속 갭에 비례하도록 만들 수 있는가?
• RQ4 갭 증폭 이후 비국소적 해밀토니안에 대해 얽힌 증인자가 존재할 경우 프로토콜이 여전히 오류 확률이 일정한가?
• RQ5 일정한 답변 길이를 갖는 프로토콜을 사용하는 다자 게임 변형을 통해 양자 PCP 추측에 접근할 수 있는가?

주요 결과

• 프로토콜은 성공 확률 갭이 지면 상태 에너지 갭에 비례하는 완전성 및 오류 확률 한계를 달성한다: |c₁ − c₂δ^cλ_min(H) ≤ ω*(H) ≤ c₁ − c₂δ^cλ_min(H) + δ|.
• 모든 δ > 0에 대해 p = Θ(δ^{15/16})로 선택하면, 도용 전략이 정직한 성공 확률을 δ 초과로 초과할 수 없다.
• 에너지 테스트는 최대 1/2 + 1/2(1 − 1/4λ_min(H) − 1/(2m)∑|α_ℓ|)의 확률로 통과하며, 이는 지면 상태 에너지에 직접적으로 의존한다.
• 텐서화를 통한 갭 증폭은 λ_min(H) ≥ 1/q 인 해밀토니안 H를 λ_min(H′) ≥ 1 인 H′으로 변환하며, λ_min(H) ≥ 1/q 이면 λ_min(H′) ≥ 1 이고, λ_min(H) ≤ 1/p 이면 λ_min(H′) ≤ 1/2 가 되도록 한다. 여기서 p(n) > q(n)은 다항식이다.
• 증폭 이후 비국소적 해밀토니안에 대해서도 프로토콜이 작동하여, 일정한 답변 길이로 비국소적 사례에서 일정한 오류 확률 검증이 가능하다.
• 결과는 양자 다자 게임 변형의 양자 PCP 추측을 지지하며, QMA ⊆ MIP*이 일정한 답변 길이와 일정한 오류 확률 갭을 갖는다는 것을 보여준다.