[논문 리뷰] Construction and sharp consistency estimates for atomistic/continuum coupling methods with general interfaces: a 2D model problem

Christoph Ortner, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 02.

Microstructure and mechanical properties참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 근접 이웃 다체 상호작용을 갖는 2차원 삼각 격자에 대해 기하 재구성 기반 원자-연속체(а/c) 방법을 제안한다. 이는 임의의 인터페이스 기하 구조, 특히 모서리까지 포함하여 패치 테스트 일致성을 달성할 수 있음을 증명하며, 인터페이스에서 일阶 일致성과 연속체 내부에서 이阶 일치성을 확립한다. 이는 기존 1차원 최적 결과를 2차원으로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We present a new variant of the geometry reconstruction approach for the formulation of atomistic/continuum coupling methods (a/c methods). For multi-body nearest-neighbour interactions on the 2D triangular lattice, we show that patch test consistent a/c methods can be constructed for arbitrary interface geometries. Moreover, we prove that all methods within this class are first-order consistent at the atomistic/continuum interface and second-order consistent in the interior of the continuum region.

연구 동기 및 목표

• 임의의 인터페이스 기하 구조, 특히 모서리를 포함한 2차원 다체 상호작용에 대해 일관된 원자-연속체 결합 방법을 개발하는 것.
• 이전 방법들이 고대칭성 인터페이스를 요구하거나 자연스럽지 않은 연결성 가정을 도입하는 데서 비롯되는 한계를 극복하는 것.
• 비국소 항을 피함으로써 수렴 속도를 떨어뜨리는 요인 없이도 일치 오차 추정치를 날카롭게 확립하는 것.
• 자유 매개변수를 가진 기하 재구성 방법의 변형을 구성하여 기존 1차원 최적 일치 결과를 2차원으로 일반화하는 것.
• 고차원 및 복잡한 기하 구조에서 기하 재구성 기반 а/c 방법의 일반 이론을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 원자-연속체 인터페이스에서 자유 매개변수를 가진 기하 재구성(GR-AC) 방법의 새로운 변형을 제안한다.
• 에너지 및 힘 일치성(패치 테스트 조건)을 만족시키기 위해 매개변수를 조정한 수정된 위치 에너지를 인터페이스에서 사용한다.
• 2차원 삼각 격자의 표준 삼등분법을 사용하여 局소 응력 및 변형도를 정의한다.
• 삼각형 요소 내에서 원자 모델과 а/c 모델 간 응력 차이에 대한 명시적 공식을 유도하여 정밀한 오차 분석을 가능하게 한다.
• 모서리 간의 기여를 상쇄시키기 위해 보정 함수를 구성하여 전반적인 일관성을 확보한다.
• 대칭성에 따라 가능한 모든 모서리 구성에 대해 국소 분석을 적용하여, 다양한 인터페이스 기하 구조에서의 방법의 강건성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 다체 상호작용에서 임의의 인터페이스 기하 구조, 특히 모서리를 포함한 경우에도 패치 테스트 일치성 아/컨티뉴엄 결합 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비국소 항이나 인위적인 연결성 가정 없이도 일치 오차를 날카롭게 유계로 제한할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 인터페이스에서 인터페이스에서 일계 일치성과 연속체 영역 내부에서 이계 일치성을 달성하는 것이 가능한가?
• RQ4 기하 재구성 방법의 자유 매개변수를 에너지 및 힘 일치 조건을 만족시키도록 체계적으로 적합화할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 볼록 및 오목한 모서리를 포함한 모든 인터페이스 구성에서 최적의 수렴 속도를 유지하는가?

주요 결과

• 임의의 인터페이스 기하 구조, 특히 모서리를 포함한 2차원 근접 이웃 다체 상호작용에서 패치 테스트 일치성 아/컨티뉴엄 결합 방법을 구성할 수 있다.
• 제안된 클래스에 속하는 모든 방법이 원자-연속체 인터페이스에서 일계 일치성과 연속체 영역 내부에서 이계 일치성을 달성한다.
• 각 삼각형 요소의 응력 오차는 명시적으로 계산되었으며, 재구성 매개변수의 리프시츠 조건 제어를 통해 유계임을 입증하였다.
• 방법의 일관성은 국소적이며 기하 구조에 독립적이며, 오직 분리 조건(가정 3.4)에 의존하며, 대칭성에 따라 가능한 모든 모서리 구성에 대해 성립한다.
• 보정 함수는 명시적으로 구성되었으며, 경계를 넘는 모서리 기여를 상쇄시켜 전반적인 일관성을 보장한다.
• 결과는 기존 1차원 최적 일치 추정치([10] 참조)를 2차원으로 일반화하여, GR-AC 방법의 일반 이론을 향한 기초 단계를 확립한다.