[논문 리뷰] Convergence of a force-based hybrid method for atomistic and continuum models in three dimension

Jianfeng Lu, Pingbing Ming|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 12.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 31인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 힘 기반 원자역학-연속체 격리 방법에 대한 최초의 수렴 결과를 확립하며, 격자 간격이 0으로 갈수록 하이브리드 해가 원자역학 해로 수렴하는 2차 수렴을 증명한다. 분석은 의사차분 연산자를 통한 일致성과 선형 안정성의 조합을 통해 일반적인 단거리 잠재력과 단순 격자에서 최적의 수렴을 보장한다.

ABSTRACT

We study a force-based hybrid method that couples atomistic models with nonlinear Cauchy-Born elasticity models. We show that the proposed scheme converges quadratically to the solution of the atomistic model, as the ratio between lattice parameter and the characteristic length scale of the deformation tends to zero. Convergence is established for general short-ranged atomistic potential and for simple lattices in three dimension. The convergence is based on consistency and stability analysis. General tools are developed in the framework of pseudo-difference operators for stability analysis in arbitrary dimension of the multiscale atomistic and continuum coupling methods.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 원자역학 모델과 코시-본 연속체 모델을 하이브리드로 연결하는 힘 기반 혼합 방법의 수렴을 확립하는 것.
• 1차원을 초월한 다차원 다스케일 결합 방법에서의 안정성 분석이라는 오랜 도전 과제를 해결하는 것.
• 임의의 차원에서 안정성 분석을 위한 일반적인 도구를 의사차분 연산자 기반으로 개발하는 것.
• 잠재력과 격자 구조에 대한 최소한의 가정 하에 하이브리드 해가 원자역학 해로 수렴하는 2차 수렴을 증명하는 것.

제안 방법

• 영역 간의 인터페이스에서 원자력과 코시-본 연속체 힘을 결합하는 힘 기반 하이브리드 방법을 수립한다.
• 에너지 최소화가 아닌 힘 균형 방정식에 기반한 변분 형식을 사용하여 일관된 결합에서 격자력(ghost force)을 피한다.
• 3차원에서의 다스케일 구조를 다루기 위해 의사차분 연산자의 프레임워크를 사용하여 선형화된 연산자를 분석한다.
• 의사차분 연산자의 정규성 추정, 선형화된 스킴의 일치성, 연속 문제의 안정성의 조합을 통해 안정성을 확립한다.
• 스트랑크 유형의 수렴 분석을 사용하여 하이브리드 해와 진짜 원자역학 해 사이의 오차를 근사한다.
• 브라우어 고정점 정리를 적용하여 원자역학 해의 작은 이웃에서 해의 존재성과 국소 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힘 기반 원자역학-연속체 격리 방법이 3차원에서 2차 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 1차원 이상의 차원에서 다스케일 결합 스킴의 안정성 분석을 위해 필요한 일반적인 도구는 무엇인가?
• RQ3 일般적인 단거리 잠재력이 있는 힘 기반 하이브리드 방법에 대해 일치성과 안정성을 엄밀히 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 철저한 결합 설계와 분석을 통해 3차원 시스템에서 격자력 문제를 극복할 수 있는가?
• RQ5 격자 간격이 0으로 갈수록 하이브리드 해가 원자역학 해에 대해 수렴 속도는 얼마인가?

주요 결과

• 격자 간격 ε → 0일 때 힘 기반 하이브리드 방법은 원자역학 해로 2차 수렴하며, 오차는 Cε²로 유계이다.
• 이 수렴 결과는 3차원에서 일반적인 단거리 이체력 잠재력과 단순 브라바이스 격자에 대해 성립한다.
• 안정성 분석은 의사차분 연산자를 통해 수행되어 임의의 차원으로 일반화 가능하다.
• 선형화된 연산자의 일치성은 힘 균형 방정식의 잔여항이 2차적으로 감소함을 보여 증명된다.
• 해의 해가 비퇴화된 헤시안 행렬에 의해 국소적으로 유일하다.
• 이 분석은 특정 하이브리드 모델을 초월하여 다스케일 방법에서 안정성과 수렴성에 대한 일반적 프레임워크를 제공한다.