[논문 리뷰] Construction of Forward Performance Processes in Stochastic Factor Models and an Extension of Widder's Theorem

Levon Avanesyan, Mykhaylo Shkolnikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스토케스틱 인자 모델에서 파wr-유용성 초기 자료를 가진 완전하지 않은 모델에서, 주식-인자 상관계수 행렬의 고유값 등식(EVE) 구조 하에, '틀린' 시간 방향으로 악조건의 포아르비안 편미분방정식(PDE)을 풀어 전방 성과 과정(forward performance processes)을 구성한다. 주요 기여는 정규화된 위더의 정리(generalized Widder's theorem)를 정규화된 고유함수에 확장하고, 라플라스 역변환을 통한 명시적 해를 제공함으로써, 리카티 상미분방정식(Riccati ODEs)을 갖는 애프린 인자 모델에서 시간에 일관된 최적 포트폴리오를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the problem of optimal portfolio selection under forward investment performance criteria in an incomplete market. Given multiple traded assets, the prices of which depend on multiple observable stochastic factors, we construct a large class of forward performance processes with power-utility initial data, as well as the corresponding optimal portfolios. This is done by solving the associated non-linear parabolic partial differential equations (PDEs) posed in the "wrong" time direction, for stock-factor correlation matrices with eigenvalue equality (EVE) structure, which we introduce here. Along the way we establish on domains an explicit form of the generalized Widder's theorem of Nadtochiy and Tehranchi [NT15, Theorem 3.12] and rely hereby on the Laplace inversion in time of the solutions to suitable linear parabolic PDEs posed in the "right" time direction.

연구 동기 및 목표

• 시장 조건 변화에 적응하는 전방 성과 과정(FPPs)을 도입하여 고전적인 메르톤 포트폴리오 최적화의 시간 비일관성 문제를 해결한다.
• 다중 스토케스틱 인자를 기반으로 하는 불완전 시장에서 파워-유용성 초기 자료를 갖는 광범위한 FPP 클래스를 구성한다.
• 새로운 라플라스 역변환 기법을 사용하여 '틀린' 시간 방향으로 악조건의 해밀턴-자코비-벨만(HJB) 편미분방정식(PDEs)을 해결한다.
• 기존 문헌의 결과를 확장하여 도메인 상에서 정규화된 고유함수에 대한 일반화된 위더의 정리를 수립한다.
• EVE 가정 하에 애프린 인자 모델에서 리카티 상미분방정식을 통해 명시적 해를 제공한다.

제안 방법

• 주식-인자 상관계수 행렬에 대한 고유값 등식(EVE) 구조를 도입하여 전방 HJB PDE의 해법 가능성을 확보한다.
• 시간 방향이 '맞는' 쪽으로 설정된 선형 포아르비안 PDE의 해를 라플라스 역변환하여 악조건의 전방 PDE의 해를 구성한다.
• 해를 단순화하기 위해 지수-애프린 앤타즈 $ u(t,y) = \exp(\Phi(t)^T y + \Theta(t)) $ 를 적용하여 HJB PDE를 리카티 상미분방정식 시스템으로 감소시킨다.
• 리카티 상미분방정식 시스템을 유도한다: $ \dot{\Phi}_i + \frac{1}{2}L_i \Phi_i^2 + \sum_j (M+N)_{ij} \Phi_j + \frac{\Gamma}{2q} \Lambda_i = 0 $, $ \dot{\Theta} $ 는 $ \Phi $ 에 의해 결정된다.
• 일반화된 위더의 정리를 활용하여 전방 성과 과정 맥락에서 정규화된 고유함수를 특성화한다.
• 비음수 인자를 갖는 애프린 인자 모델에서 검증하며, 이 경우 HJB 방정식은 계수에 애프린 형태를 갖는 선형 포아르비안 PDE로 축소된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전하지 않은 스토케스틱 인자 모델에서 파워-유용성 초기 자료를 갖는 전방 성과 과정을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 주식-인자 상관계수 행렬에 어떤 구조적 조건이 성립할 경우 악조건의 전방 HJB PDE를 해석할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 위더의 정리는 어떤 방식으로 도메인으로 확장되어 이 맥락에서 정규화된 고유함수를 특성화할 수 있는가?
• RQ4 EVE 가정 하에 애프린 인자 모델에서 리카티 상미분방정식을 통해 명시적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 수익 기간 변화에 대응하여도 여전히 최적의 포트폴리오를 유지하는 시간에 일관된 전략을 도출하는가?

주요 결과

• 주식-인자 상관계수 행렬에 대한 고유값 등식(EVE) 구조는 파워-유용성 초기 자료를 갖는 전방 성과 과정의 구성 가능성을 보장한다.
• 일반화된 위더의 정리는 도메인으로 확장되어 라플라스 역변환을 통한 정규화된 고유함수의 특성화를 제공한다.
• 전방 HJB PDE의 해는 시간 방향이 '맞는' 쪽으로 설정된 선형 포아르비안 PDE의 해를 라플라스 역변환하여 구성된다.
• 애프린 인자 모델에서는 HJB 방정식이 리카티 상미분방정식 시스템으로 축소되며, $ M $ 과 $ N $ 이 대각행렬일 경우 명시적으로 해를 구할 수 있다.
• 각 인자에 대해 해 $ \Phi_i(t) = \frac{z_{+,i} - \chi_i z_{-,i} e^{-\sqrt{D_i}t}}{1 - \chi_i e^{-\sqrt{D_i}t}} $ 가 유도되며, 여기서 $ D_i = (M_{ii}+N_{ii})^2 - L_i \frac{\Gamma}{q} \Lambda_i $ 이다.
• 최적 포트폴리오는 시간에 일관되며, $[0,T_2]$ 에서의 전방 전략을 $[0,T_1]$ 으로 제한하면 $[0,T_1]$ 에서의 최적 전략이 도출된다.