[논문 리뷰] Containment Problems for Projections of Polyhedra and Spectrahedra

Kai Kellner|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 09.

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다면체와 스펙트라헤드론의 사영에 대한 포함 문제를 다항식 음수성 문제로 재구성함으로써, 고급 Positivstellens"atze를 통해 양의 정부호 조건의 계층을 가능하게 한다. 주요 기여는 사영된 집합을 위한 정밀화된 Positivstellensatz를 제안하여, 충분한 양의 정부호 조건의 계층을 도출하며, 첫 번째 단계는 양의 선형 사상에서 유래한 단일 기준과 일치하고, 포함성과 관련된 사상의 완전 양의 정부호성과의 새로운 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

Spectrahedra are affine sections of the cone of positive semidefinite matrices which form a rich class of convex bodies that properly contains that of polyhedra. While the class of polyhedra is closed under linear projections, the class of spectrahedra is not. In this paper we investigate the problem of deciding containment of projections of polyhedra and spectrahedra based on previous works on containment of spectrahedra. The main concern is to study these containment problems by formulating them as polynomial nonnegativity problems. This allows to state hierarchies of (sufficient) semidefinite conditions by applying (and proving) sophisticated Positivstellensätze. We also extend results on a solitary sufficient condition for containment of spectrahedra coming from the polyhedral situation as well as connections to the theory of (completely) positive linear maps.

연구 동기 및 목표

• 스펙트라헤드론과 다면체의 포함 기준을 사영된 경우로 확장하여, 다면체처럼 사영에 대해 닫혀 있지 않은 경우를 다루는 것.
• 사영된 볼록집합의 포함 문제를 다항식 음수성 문제로 재구성하여, 양의 정부호 프로그래밍을 통한 알고리즘적 처리를 가능하게 하는 것.
• 비사영된 경우에서 유도된 충분한 양의 정부호 조건—특히 단일 기준—을 사영된 경우로 일반화하는 것.
• 사영된 경우에서 포함성과 양의 선형 사상 및 완전 양의 정부호 선형 사상 이론 사이의 관계를 설정하는 것.
• 사영된 집합의 기하적 성질을 반영한 정밀화된 Positivstellensatz를 개발하여, 충분한 양의 정부호 조건의 계층을 도출하는 것.

제안 방법

• 다면체와 스펙트라헤드론의 사영에 대한 포함 문제를 매개변수 및 보조 변수의 곱집합 위에서 이항 음수성 문제로 공식화한다.
• Putinar의 및 Hol-Scherer의 Positivstellens"atze를 적용하여 포함성에 대한 양의 정부호 조건의 계층을 도출한다.
• 사영된 집합의 기하적 구조를 통합한 정밀화된 Positivstellensatz를 도입하여 기존 접근보다 향상된 성능을 확보한다.
• 선형 펜슬을 사용하여 스펙트라헤드론을 표현하고, 포함성을 양의 정부호성으로 코딩하기 위해 관련 선형 사상 $\Phi_{AB}$ 및 $\widehat{\Phi}_{AB}$ 를 정의한다.
• 사영된 스펙트라헤드론의 포함성과 행렬 $\widehat{C}$ 가 나타내는 사상 $\widehat{\Phi}_{AB}$ 의 완전 양의 정부호성 사이의 동치성을 확립한다.
• 기하학적 및 스케일링 추론을 적용하여, 유계성 및 비어 있지 않은 조건 하에서 포함성이 $\widehat{\Phi}_{AB}$ 의 양의 정부호성을 암시함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다면체의 사영에 대한 포함 문제는 다항식 음수성 문제로 환원될 수 있는가? 그리고 그 계산 복잡도는 어떠한가?
• RQ2 스펙트라헤드론 포함에 대한 충분한 양의 정부호 기준을, 하나의 집합이 사영된 경우로 확장할 수 있는가?
• RQ3 사영된 스펙트라헤드론의 포함성과 관련된 선형 사상의 양의 정부호성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 정밀화된 Positivstellens"atze를 사용하여 사영된 포함성에 대한 양의 정부호 조건의 계층을 구성할 수 있는가?
• RQ5 사영된 포함성에 대한 양의 정부호 조건의 계층에서 유한 수렴이 발생하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 사영된 다면체의 포함 문제는 비-NP-완전성임을 보이며, 비사영된 경우보다 복잡도가 증가함을 반영한다.
• 사영된 스펙트라헤드론이 스펙트라헤드론에 포함될 때 충분한 양의 정부호 조건이 도출되었으며, 이는 비사영된 경우의 단일 기준을 일반화한 것이다.
• 제안된 양의 정부호 조건 계층의 첫 번째 단계는 단일 기준과 일치하여 이전 결과와의 일관성을 확보한다.
• 사영된 집합의 기하적 자료를 통합한 정밀화된 Positivstellensatz 가 확립되어, 더 강력한 수렴 보장을 가능하게 한다.
• 유계성 및 엄밀한 타당성 조건 하에서 $\pi(S_A)$ 가 $S_B$ 에 포함됨과 동시에 행렬 $\widehat{C}$ 가 나타내는 $\widehat{\Phi}_{AB}$ 의 완전 양의 정부호성은 동치이다.
• 특정 2차원 유계 스펙트라헤드론의 가족에 대해 계층이 유한 수렴을 보이며, 이는 이전의 유한 수렴 결과를 확장한다.