[논문 리뷰] Continuous-time trading and the emergence of probability

Vladimir Vovk|RePEc: Research Papers in Economics|2009. 04. 28.

Economic theories and models인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 금융에서 비확률적, 게임 이론적 기반을 확립하여 연속적인 거래 프로토콜에서 일반적인 가격 경로가 이차변동을 갖는다는 것을 보여준다. 시간이 이차변동으로 대체될 때, 사전에 확률측도를 가정하지 않더라도 가격 경로는 브라운 운동으로 수렴한다—따라서 위너 측도는 확률적 가정 없이 거래 전략과 자본 성장에서 자연스럽게 유도된다. 이는 듀빈-슈바르츠 정리와 유사하지만, 확률적 가정 없이 성립한다.

ABSTRACT

This paper establishes a non-stochastic analogue of the celebrated result by Dubins and Schwarz about reduction of continuous martingales to Brownian motion via time change. We consider an idealized financial security with continuous price path, without making any stochastic assumptions. It is shown that typical price paths possess quadratic variation, where "typical" is understood in the following game-theoretic sense: there exists a trading strategy that earns infinite capital without risking more than one monetary unit if the process of quadratic variation does not exist. Replacing time by the quadratic variation process, we show that the price path becomes Brownian motion. This is essentially the same conclusion as in the Dubins-Schwarz result, except that the probabilities (constituting the Wiener measure) emerge instead of being postulated. We also give an elegant statement, inspired by Peter McCullagh's unpublished work, of this result in terms of game-theoretic probability theory.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 금융 시장에서 확률의 비확률적 기반을 구축하여 사전에 확률측도가 필요로 하지 않도록 하는 것.
• 확률미분계산의 핵심인 위너 측도가 시장 역학과 거래 전략에서만 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• 게임 이론적 확률론을 사용하여 연속적인 가격 경로의 변동지수 및 표본 경로 성질에 관한 이전 결과를 일반화하고 강화하는 것.
• 자본 성장과 리스크 제약 조건만을 사용하여 이차변동을 시간으로 삼는 시간변환 기반의 구축적 변환을 통해 가격 경로를 브라운 운동으로 변환하는 것.
• 이전 연구에서의 연속 경로 결과들(예: 고립된 영점의 부재, 이차변동)을 하나의 일관된 프레임워크 안에서 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 시장(가격 범위 설정)과 거래자(전략 실행)로 구성된 두 명의 플레이어가 참여하는 게임 이론적 프로토콜을 사용하며, 확률적 가정이 없이 진행된다.
• 자본이 증가하는 전략의 존재를 통해 사건의 상한 및 하한 가격을 정의하며, '확률 1'을 '파산 위험이 없음'으로 대체한다.
• 고주기 한도주문 전략을 적용하여 연속시간 거래를 시뮬레이션하고 가격 경로의 성질을 도출한다.
• 이차변동을 통한 시간변환을 도입: 시간이 가격 경로의 누적 이차변동으로 대체될 때, 과정은 브라운 운동이 된다.
• 지수 마틴갈 전략 기반의 슈퍼캐피탈 과정을 구성하여, 어떤 경로에 대해서도 특정 과정이 슈퍼마틴갈임을 증명한다.
• 피터 머컬러그의 피드유셜 아이디어를 활용: 확률은 시간 변환에 대해 불변인 사건에서만 유도되며, 이는 위너 측도의 자연스러운 정의를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사전에 확률측도를 가정하지 않고도 연속적인 거래 프로토콜에서 위너 측도가 유도될 수 있는가?
• RQ2 게임 이론적 프레임워크에서 연속적인 가격 경로가 어떤 조건에서 이차변동을 갖는가?
• RQ3 확률이 사전에 제시되지 않은 비확률적 환경에서 듀빈-슈바르츠 정리는 어떻게 재구성될 수 있는가?
• RQ4 이차변동을 통한 시간변환이 일반적인 연속적인 가격 경로를 브라운 운동으로 변환하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 시간 변환에 대한 불변성 특성은 게임 이론적 확률론에서 확률의 유도와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 게임 이론적 프레임워크에서 일반적인 연속적인 가격 경로는 이차변동을 갖는다. 이는 경로가 이차변동을 갖지 않을 경우 무한자본을 확보하는 전략이 존재함으로써 입증된다.
• 시간이 이차변동으로 대체될 때, 가격 경로는 브라운 운동과 구별할 수 없게 되며, 위너 측도는 불변 사건의 상한 및 하한 가격으로 자연스럽게 유도된다.
• 주요 결과(정리 3.1)는 불변 사건에 대해 상한 및 하한 가격이 일치하고, 이는 사전에 확률측도를 가정하지 않더라도 위너 측도와 동일하다는 것을 보여준다.
• 구축적 형태(정리 5.1)는 이차변동을 시간으로 삼는 시간변환된 가격 경로가 브라운 운동이 되며, 이는 직접적이고 알고리즘적인 변환을 제공한다.
• 이 결과는 이전의 변동지수(2) 및 경로 정규성(예: 고립된 영점의 부재)에 관한 결과들을 특수한 경우로 일반화하고 포함한다.
• 저널판은 주요 결과(정리 6.3)를 강화하고, 불완전 시장 및 연속시간 프로토콜에서 확률의 유도에 대한 명확화를 포함한다.