[논문 리뷰] Coherent Price Systems and Uncertainty-Neutral Valuation

Patrick Beißner|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 47인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 G-브라운 운동을 사용하여 볼륨리티 불확실성 하에서 금융 시장에 대한 일관된 평가 프레임워크를 개발한다. 하위선형 가격 체계와 불확실성 중립 가격 설정을 도입함으로써, G-기대값 하에서 등가 대칭 마팅게일 측도 집합(EsMM 집합)의 존재를 확립하고, 단일 사전 확률이 아닌 상호 독립적인 다수의 사전 확률에 대한 기본 정리의 자산 가격 결정 이론을 확장하여, 모델 불확실성 하에서도 무위험 가격 설정이 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider fundamental questions of arbitrage pricing arising when the uncertainty model is given by a set of possible mutually singular probability measures. With a single probability model, essential equivalence between the absence of arbitrage and the existence of an equivalent martingale measure is a folk theorem, see Harrison and Kreps (1979). We establish a microeconomic foundation of sublinear price systems and present an extension result. In this context we introduce a prior dependent notion of marketed spaces and viable price systems. We associate this extension with a canonically altered concept of equivalent symmetric martingale measure sets, in a dynamic trading framework under absence of prior depending arbitrage. We prove the existence of such sets when volatility uncertainty is modeled by a stochastic differential equation, driven by Peng's G-Brownian motions.

연구 동기 및 목표

• 모델 불확실성 하에서 단일 확률 모델의 한계를 해결하기 위해.
• 다수의 상호 독립적인 사전 확률이 존재하는 상황에서 하위선형 가격 체계의 미시경제학적 기반을 마련하기 위해.
• 볼륨리티 불확실성 하에서 우선순위 의존적 개념의 타당한 가격 체계를 도입함으로써 자산 가격 결정의 기본 정리를 확장하기 위해.
• 우선순위 의존적 무위험 없음 조건 하에서 G-기대값 하에서 등가 대칭 마팅게일 측도 집합(EsMM 집합)의 존재를 확립하기 위해.
• 하위선형 기대값 프레임워크에서 측도 변화를 가능하게 하는 Girsanov 유사 변환을 제공하기 위해.

제안 방법

• 서로 독립적인 확률 측도의 집합을 통해 불확실성을 모델링하여 지배되지 않는 사전 확률과 불가피한 불확실성을 표현한다.
• Peng의 G-브라운 운동을 사용하여 볼륨리티 모호성을 포착하는 하위선형 기대값 프레임워크를 도입한다.
• 새로운 무위험 개념인 P-무위험을 정의한다. 이는 집합 P에 속한 모든 사전 확률 하에서 비용이 비음수이고 수익이 비음수이며, 적어도 하나의 사전 확률 하에서 수익이 양수인 포지션을 의미한다.
• 등가 마팅게일 측도 개념을 EsMM 집합으로 일반화하여, 집합 내 모든 사전 확률에 대해 대칭적이고 일관된 성격을 갖도록 한다.
• G-기대값에 대한 Girsanov 정리를 적용하고, 새로운 하위선형 기대값의 존재를 보장하기 위해 노비코프 유사 조건을 사용한다.
• G-기대값 하에서 마팅게일 표현 정리를 활용하여, G-마팅게일을 비대칭의 드리프트 항 (−Kt)을 가진 스트로복 적분으로 특성화한다. 이 드리프트 항 자체가 G-마팅게일임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 상호 독립적인 사전 확률이 존재하는 시장에서 고전적인 자산 가격 결정의 기본 정리는 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 볼륨리티 불확실성 하에서 하위선형 기대값 프레임워크에서 마팅게일과 등가 측도의 적절한 개념은 무엇인가?
• RQ3 G-프레임워크에서 EsMM 집합(등가 대칭 마팅게일 측도 집합)이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 G-기대값 설정에서 측도를 변화시키기 위한 Girsanov 유사 변환은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 G-마팅게일 표현에서 비대칭 과정 −Kt의 역할은 무엇이며, 고전적 Itô 과정과는 어떻게 다를까?

주요 결과

• 볼륨리티 불확실성이 G-브라운 운동에 의해 구동되는 확률적 미분 방정식으로 모델링될 경우, EsMM 집합의 존재가 증명된다.
• G-마팅게일은 다음 형태의 과정으로 특성화된다: $ M_t = x + \igint_0^t z_s dB^G_s + \igint_0^t heta_s d\ngle B^G \rangle_s - \igint_0^t 2G(\theta_s) ds $, 여기서 드리프트 항은 하위선형성을 보장한다.
• 과정 $ -K_t = \igint_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s - \igint_0^t 2G(\eta_s) ds $ 는 연속적이며 비증가하는 G-마팅게일이며, 0의 이차변동성을 갖는다.
• G-기대값 하에서의 마팅게일 표현 정리는 임의의 $ L^2_G $-랜덤 변수가 스트로복 적분과 비대칭 드리프트 항의 유일한 분해를 갖는다는 것을 보장한다.
• 노비코프 유사 조건 하에서 Girsanov 유사 정리가 확립된다: $ E_G[\exp((\frac{1}{2}+\varepsilon)\int_0^T \theta^2_s d\langle B^G\rangle_s)] < \infty $, 이는 변환된 과정 $ B^\theta_t = B^G_t - \int_0^t \theta_s d\langle B^G\rangle_s $ 가 새로운 하위선형 기대값 하에서 G-브라운 운동이 되도록 보장한다.
• 새로운 측도 $ \mathcal{P}^\theta $ 는 $ \mathcal{E}^\theta(X) = E_G[\mathtt{E}^\theta_T \cdot X] $ 로 정의되며, $ \mathtt{E}^\theta $ 는 $ d\mathtt{E}^\theta_t = \mathtt{E}^\theta_t \theta_t dB^G_t $, $ \mathtt{E}^\theta_0 = 1 $ 을 만족한다.