[논문 리뷰] Continuous-variable quantum state designs: theory and applications

Joseph T. Iosue, Kunal Sharma외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 126인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 힐버트 공간에서 $t \geq 2$인 표준 연속형 변수(CV) 상태 $t$-디자인의 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해, 고정된 힐버트 공간 내의 비정규화 가능한 상태인 고정된 연속형 변수(CV) 양자 상태 디자인을 도입한다. 이를 통해 Fock 상태와 위상 상태를 사용하여 명시적인 $t=2$ 고정 디자인을 구성하고, 디자인 기반의 샤로우 톰그래피 프로토콜을 가능하게 하며, 토러스 $2$-디자인과 완전한 상호수직 기저(MUB) 집합 간의 연결 고리를 설정한다.

ABSTRACT

We generalize the notion of quantum state designs to infinite-dimensional spaces. We first prove that, under the definition of continuous-variable (CV) state $t$-designs from Comm. Math. Phys. 326, 755 (2014), no state designs exist for $t\geq2$. Similarly, we prove that no CV unitary $t$-designs exist for $t\geq 2$. We propose an alternative definition for CV state designs, which we call rigged $t$-designs, and provide explicit constructions for $t=2$. As an application of rigged designs, we develop a design-based shadow-tomography protocol for CV states. Using energy-constrained versions of rigged designs, we define an average fidelity for CV quantum channels and relate this fidelity to the CV entanglement fidelity. As an additional result of independent interest, we establish a connection between torus $2$-designs and complete sets of mutually unbiased bases.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 힐버트 공간에서 표준 연속형 변수(CV) 양자 상태 $t$-디자인이 $t \geq 2$일 때 존재하지 않는 기본적인 제약을 해결하기 위해.
• 정규화 조건을 완화시켜 CV 시스템에 대해 의미 있는 양자 디자인의 일반화를 도출하기 위해.
• 연속형 변수 양자 시스템에서 샤로우 톰그래피 및 허상도 추정과 같은 새로운 응용 분야를 가능하게 하기 위해.
• 유한차원 힐버트 공간에서 토러스 $2$-디자인과 완전한 상호수직 기저(MUB) 집합 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• CV 양자 채널에 대한 에너지 제약이 있는 평균 허상도를 정의하고, 이를 CV 엔트랑글먼트 허상도와 연결하기 위해.

제안 방법

• 임계 힐버트 공간의 쌍대 공간인 $S(\mathbb{R})'$에 속하는 비정규화 가능한 상태를 사용하여 고정된 $t$-디자인을 도입하고, 온전한 힐버트 공간에 온도 분포를 포함시켜 확장한다.
• Fock 상태와 위상 상태를 사용하여 명시적인 $t=2$ 고정 디자인을 구성하고, 이들이 위상 추정에 최적화된 양의 연산자값 측정(POVM)을 형성함을 보인다.
• 고정된 $2$-디자인을 사용하여 CV 상태의 저차수 다항식 관측량의 기대값을 추정할 수 있는 디자인 기반 샤로우 톰그래피 프로토콜을 개발한다.
• CV 양자 채널에 대한 평균 허상도 추정을 가능하게 하기 위해 에너지 제약이 있는 고정 디자인을 정의한다.
• 단체 디자인과 상태 디자인 간의 관계를 이용하여, 표준 CV $t$-디자인이 $t \geq 2$일 때 존재하지 않음을 모순을 통해 증명한다.
• 서로 수직인 기저가 크기가 $n^2$인 등중량 토러스 $2$-디자인과 일치함을 보여, $n$-토러스 $2$-디자인과 $$\mathbb{C}^n$$에서 완전한 MUB 집합 간의 연결 고리를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 힐버트 공간에서 연속형 변수 양자 상태 $t$-디자인이 $t \geq 2$일 때 존재하는가?
• RQ2 표준 디자인이 실패하는 연속형 변수 시스템에 대해 의미 있는 양자 디자인의 일반화를 제안할 수 있는가?
• RQ3 고정된 $t$-디자인은 명시적으로 구성될 수 있으며, 실용적인 양자 정보 프로토콜을 지원하는가?
• RQ4 유한차원 힐버트 공간에서 토러스 $2$-디자인과 완전한 상호수직 기저(MUB) 집합 간에 연결 고리가 존재하는가?
• RQ5 에너지 제약이 있는 고정 디자인은 CV 양자 채널에 대한 의미 있는 평균 허상도를 정의하고, 이를 엔트랑글먼트 허상도와 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 분리 가능한 무한차원 힐버트 공간, $L^2(\mathbb{R})$를 포함하여, 연속형 변수 상태 $t$-디자인이 $t \geq 2$일 때 존재하지 않는다.
• 비가우시안 유니터리까지 포함하더라도 연속형 변수 유니터리 $t$-디자인이 $t \geq 2$일 때 존재하지 않는다.
• 고정된 $2$-디자인이 존재하며, Fock 상태와 위상 상태를 사용하여 명시적으로 구성되었고, 이들은 위상 추정에 최적화된 POVM을 형성한다.
• 고정된 $2$-디자인을 사용하여 CV 상태의 저차수 다항식 관측량을 효율적으로 추정할 수 있는 디자인 기반 샤로우 톰그래피 프로토콜이 개발되었다.
• 에너지 제약이 있는 고정 디자인이 CV 양자 채널에 대한 평균 허상도를 정의하며, 이 평균 허상도가 CV 엔트랑글먼트 허상도와 관련이 있음이 입증되었다.
• $\mathbb{C}^n$에서 완전한 상호수직 기저 집합이 존재하는 것은, 크기가 $n^2$인 등중량 $n$-토러스 $2$-디자인이 존재하고, 그 위상이 $n$개의 정규직교 기저를 정의할 때에만 가능하다.