[논문 리뷰] Contraherent cosheaves

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 13.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 56인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스킴 위에서 코터전 모듈의 전역화로서의 대응해석 코셰이프(coherent cosheaves)를 도입하여, 유한 콪터전 또는 노에테리안 스킴에 대해 이중화 복합체를 갖는 스킴에서 준층의 유도 코호몰로지 범주와 대응해석 코셰이프의 유도 범주 사이의 유도 코-코프라 대응 관계를 수립한다. 이는 대수기하학에서 쌍대성 이론을 확장하며, 네만의 특별한 역상 함자 $f^!$과 델리뉴의 $f^+$를 명시적으로 구성한다.

ABSTRACT

Contraherent cosheaves are globalizations of cotorsion (or similar) modules over commutative rings obtained by gluing together over a scheme. The category of contraherent cosheaves over a scheme is a Quillen exact category with exact functors of infinite product. Over a quasi-compact semi-separated scheme or a Noetherian scheme of finite Krull dimension (in a different version - over any locally Noetherian scheme), it also has enough projectives. We construct the derived co-contra correspondence, meaning an equivalence between appropriate derived categories of quasi-coherent sheaves and contraherent cosheaves, over a quasi-compact semi-separated scheme and, in a different form, over a Noetherian scheme with a dualizing complex. The former point of view allows us to obtain an explicit construction of Neeman's extraordinary inverse image functor $f^!$ for a morphism of quasi-compact semi-separated schemes $f$. The latter approach provides an expanded version of the covariant Serre-Grothendieck duality theory and leads to Deligne's extraordinary inverse image functor $f^!$ (which we denote by $f^+$) for a morphism of finite type $f$ between Noetherian schemes. Semi-separated Noetherian stacks, affine Noetherian formal schemes, and ind-affine ind-schemes (together with the noncommutative analogues) are briefly discussed in the appendices.

연구 동기 및 목표

• 스킴 위에서의 붙임 방식을 통해 코터전 모듈을 층 이론적 대상으로 일반화하고, 대응해석 코셰이프를 정의한다.
• 무한 곱을 정확히 유지하는 Quillen 정확 범주로서의 대응해석 코셰이프의 구조를 수립한다.
• 준층의 유도 범주와 대응해석 코셰이프의 유도 범주 사이의 유도 코-코프라 대응 관계를 수립한다.
• 이 코-코프라 대응 관계를 사용하여 네만의 $f^!$ 및 델리뉴의 $f^+$ 함자를 명시적으로 구성한다.
• 세르-그로텐디크 쌍대성을 노에테리안 및 반분리 가능한 스킴을 포함하는 더 넓은 범주로 확장한다.

제안 방법

• 스킴 위에서 붙임을 통한 코터전 모듈의 전역화를 통해 대응해석 코셰이프를 구성한다.
• 대응해석 코셰이프의 범주가 무한 곱 함수사상에 대해 정확한 Quillen 정확 범주임을 보인다.
• 유한 크룰 차원을 갖는 준콤팩트 반분리 가능한 또는 국소 노에테리안 스킴에서 충분한 프로젝티브가 존재함을 증명한다.
• 준층의 유도 범주와 대응해석 코셰이프의 유도 범주 사이의 유도 함자들을 통한 유도 코-코프라 대응 관계를 수립한다.
• 이 대응 관계를 사용하여 준콤팩트 반분리 가능한 스킴 간의 사상에 대해 네만의 $f^!$을 명시적으로 구성한다.
• 이중화 복합체를 갖는 노에테리안 스킴 간의 유한 유형 사상에 대해, 이중화 복합체를 이용해 델리뉴의 $f^+$를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코터전 모듈은 어떻게 스킴 위에서 층 이론적 대상으로 전역화되어, 준층의 이중 대응체로 정의될 수 있는가?
• RQ2 대응해석 코셰이프의 범주는 정확성과 무한 곱에 관해 어떤 카테고리적 구조를 갖는가?
• RQ3 준층의 유도 범주와 대응해석 코셰이프의 유도 범주 사이에 유도 코-코프라 대응 관계를 수립할 수 있는가?
• RQ4 이 코-코프라 대응 관계를 통해 네만의 특별한 역상 함자 $f^!$을 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 코-코프라 대응 관계는 어떤 정도로, 이중화 복합체를 갖는 노에테리안 스킴에 대해 공변 세르-그로텐디크 쌍대성을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 스킴 위의 대응해석 코셰이프의 범주는 무한 곱 함수사상에 대해 정확한 Quillen 정확 범주이다.
• 준콤팩트 반분리 가능한 스킴 또는 유한 크룰 차원을 갖는 노에테리안 스킴에서는 대응해석 코셰이프의 범주가 충분한 프로젝티브를 갖는다.
• 준콤팩트 반분리 가능한 스킴에서 준층의 유도 범주와 대응해석 코셰이프의 유도 범주 사이에 유도 코-코프라 대응 관계가 수립된다.
• 코-코프라 대응 관계를 통해 준콤팩트 반분리 가능한 스킴 간의 사상에 대해 네만의 특별한 역상 함자 $f^!$을 명시적으로 구성할 수 있다.
• 이중화 복합체를 갖는 노에테리안 스킴에서는 이 대응 관계가 공변 세르-그로텐디크 쌍대성을 확장시키며 델리뉴의 $f^+$ 함자를 구성한다.
• 이 틀은 반분리 가능한 노에테리안 스택, 아핀 노에테리안 형식 스킴, 인도-아핀 인도 스킴(포함 비가환 해석)으로까지 확장된다.