[논문 리뷰] Contrast estimation of general locally stationary processes using coupling

Jean‐Marc Bardet, Paul Doukhan외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 15.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 GARCH 및 LARCH(∞)와 같은 무한 기억 모델을 포함한 일반적인 국소 정staionary 과정에서 시간에 따라 변하는 매개수를 커널 기반 추정 방법으로 추정하며, 결합 기법을 사용하여 균일한 일致성과 점근 정규성을 확립한다. 이 접근법은 Dalaus 등이 이전에 수행한 연구를 Markovian 및 선형 모델을 초월하여, 대조 함수에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 비-Markovian, 장기 기억 과정으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper aims at providing statistical guarantees for a kernel based estimation of time varying parameters driving the dynamic of local stationary processes. We extend the results of Dahlhaus et al. (2018) considering the local stationary version of the infinite memory processes of Doukhan and Wintenberger (2008). The estimators are computed as localized M-estimators of any contrast satisfying appropriate contraction conditions. We prove the uniform consistency and pointwise asymptotic normality of such kernel based estimators. We apply our result to usual contrasts such as least-square, least absolute value, or quasi-maximum likelihood contrasts. Various local-stationary processes as ARMA, AR(infty), GARCH, ARCH(infty), ARMA-GARCH, LARCH(\infty),..., and integer valued processes are also considered. Numerical experiments demonstrate the efficiency of the estimators on both simulated and real data sets.

연구 동기 및 목표

• 국소 정staionarity의 이론적 프레임워크를 Markovian 및 선형 모델을 초월하여 일반적인 무한 기억 과정으로 확장하기.
• 비선형, 비-Markovian 시간 시리즈에서 시간에 따라 변하는 매개수에 대한 커널 기반 M-추정량에 대해 균일 일치성과 점근 정규성을 포함한 통계적 보장을 제공하기.
• 이전에 국소 정staionarity 이론의 범위를 벗어났던 GARCH(∞), AR(∞), LARCH(∞) 등의 모델을 다룰 수 있도록 하기.
• 최소 제곱, 최소 절대 편차, 준최대우도와 같은 다양한 대조 함수에 적용 가능한 일반적인 추정 절차 개발하기.
• 의존성 구조에 대한 날카롭고 검증 가능한 조건 하에서 제안된 추정량의 최소 최대 속도 최적성 확립하기.

제안 방법

• 저자는 시간에 따라 변하는 국소 정staionary 과정을 과거의 착란과 시간에 따라 변하는 매개수의 재귀 함수로 정의하며, 매개수 경로를 (0,1) 내의 u에 대해 매끄러운 함수 θ*(u)로 근사한다.
• 시간 점수 u 주변의 커널 가중치를 사용하여 국소 대조 함수 Φ를 구성하고, 추정량은 매개수 공간 Θ에서 이 국소 대조 함수의 최소화자로 정의된다.
• Dedecker와 Prieur의 기법을 활용하여 무한 기억 과정의 의존성을 제어하며, 이전 연구에서 사용된 도함수 기반 방법을 대체한다.
• 이 방법은 기능적 의존도 측도와 모멘트 조건에 의존하여, 서로 다른 결합 기법 하에서 대조 함수의 기울기 차이에 대한 경계를 유도한다.
• 함수 Fθ와 그 도함수에 대한 리프시츠 조건을 사용하여, 과거 경로의 변형에 대한 안정성을 보장한다.
• 점근 정규성과 균일 일치성은 점근 공분산 행렬과 피셔 정보 행렬이 정의된 조건 하에서 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 정staionarity 프레임워크는 GARCH(∞) 및 LARCH(∞)와 같은 비-Markovian, 무한 기억 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 시간에 따라 변하는 매개수에 대한 커널 기반 M-추정량은 이러한 비-Markovian 환경에서도 일치성과 점근 정규성을 유지하는가?
• RQ3 대조 함수와 의존성 구조에 대한 최소한의 정규성 조건은 추정량의 최소 최대 속도 최적성을 보장하는가?
• RQ4 결합 기법을 사용하여 무한 기억 과정의 점근적 성질을 증명하는 데 도함수 기반 방법을 대체할 수 있는가?
• RQ5 동일한 이론적 프레임워크는 유한 기억 모델(예: ARMA(p,q))과 무한 기억 모델(예: ARCH(∞))을 통합적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 대조 함수와 의존성 구조에 대한 온건하고 검증 가능한 정규성 조건 하에서 커널 기반 M-추정량은 균일 일치성과 점별 점근 정규성을 확보한다.
• 추정량은 최소 최대 속도 최적성을 확보하며, 고려된 모델 클래스에서 시간에 따라 변하는 매개수 추정의 최선의 수렴 속도를 달성한다.
• 이 방법은 최소 제곱, 최소 절대 편차, 준최대우도를 포함한 광범위한 대조 함수 클래스에 적용 가능하여 다양한 시간 시리즈 모델에서 추정이 가능하다.
• 유한 기억 모델(예: ARMA(p,q), GARCH(p,q))과 무한 기억 모델(예: AR(∞), ARCH(∞), LARCH(∞))에 대해 이론적 보장이 확립되었으며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 결합 기반 접근법은 장거리 의존성과 비-Markovian 구조를 효과적으로 다루며, 기존 문헌에서 도함수 기반 방법의 한계를 극복한다.
• 수치 실험을 통해 추정량의 효율성이 시뮬레이션 및 실데이터에서 확인되었으며, 실용적 타당성과 강건성을 입증한다.