[논문 리뷰] Controllability function as time of motion. I

Abdon E. Choque‐Rivero, V. I. Korobov외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 17.

Control and Dynamics of Mobile RobotsEngineering참고 문헌 3인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 제어가 유한한 범위 내에 제한된 캐논리컬 시스템에 대해 적합한 위치 제어 문제를 해결하기 위한 가용성 함수 방법을 제안한다. 여기서 가용성 함수 Θ(x)는 원점으로의 운동에 소요되는 유한한 시간을 명시적으로 표현한다. 시스템 궤적을 따라 Θ(x)의 도함수가 -1이 되도록 Θ(x)를 구성함으로써, Θ(x)로부터 유도된 피드백 제어 법칙 u(x)를 통해 유한 시간 안정화를 보장한다. 단위 제어 한계 하에서 3차 시스템에 대해 명시적인 해가 제공된다.

ABSTRACT

The admissible positional control problem for the canonical system with geometrical restrictions on the control is considered. The investigation is performed with the help of the controllability function method. We obtain controllability functions which are the time of motion from an arbitrary initial condition to the origin. We also reveal a set of controls which solves this problem.

연구 동기 및 목표

• 제어의 기하학적 제약 조건 하에서 캐논리컬 시스템의 적합한 위치 제어 문제를 해결하기 위해.
• 임의의 초기 상태에서 원점으로의 운동 시간을 표현하는 가용성 함수 Θ(x)를 구성하기 위해.
• 유한 시간 내 원점으로 수렴하는 것을 보장하면서 제어 한계를 만족하는 피드백 제어 법칙 u(x)를 유도하기 위해.
• 단위 제어 크기 제약 조건이 있는 3차 캐논리컬 시스템에 대해 명시적인 해석적 해를 제공하기 위해.
• 피드백 루프 궤적을 따라 Θ(x)의 도함수가 정확히 -1임을 입증함으로써, 유한 시간 내 도달 가능성 보장하기 위해.

제안 방법

• 피드백 루프 시스템을 따라 Θ(x)의 시간 도함수가 -1이 되도록 가용성 함수 Θ(x)를 구성한다. 즉, dΘ/dt = -1 이다.
• 3차 시스템에 대해 제어 법칙은 u(x) = -6/Θ(x)·x₁ - 25/Θ²(x)·x₂ - 45/Θ³(x)·x₃ 로 유도된다.
• 시간이 변화하는 오일러 유형 방정식을 상수 계수 선형 미분방정식으로 변환하기 위해 t = Θ₀ - e^τ로 치환한다.
• 해는 τ = ln(Θ₀ - t)의 지수함수 및 삼각함수 형태로 표현되어 궤적의 명시적 계산이 가능하다.
• 초기 조건을 사용하여 일반 해의 상수를 결정함으로써, 초기 상태 x₀와의 일致를 보장한다.
• 이 방법은 x ≠ 0 에서 Θ(x)가 연속적으로 미분 가능하고, 부등식 ∂Θ/∂x · f(x,u(x)) ≤ -βΘ¹⁻¹/α 를 만족함을 보장한다. 여기서 α = ∞ 이면 리아푸노프 함수 성질을 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 제어 범위를 갖는 캐논리컬 시스템에 대해, 원점으로의 정확한 운동 시간을 표현할 수 있는 가용성 함수는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 |u| ≤ d 를 만족하면서 원점으로의 유한 시간 수렴을 보장하는 피드백 제어 법칙 u(x)는 무엇인가?
• RQ3 운동 시간 Θ(x)는 명시적으로 계산되고, 피드백 루프 궤적을 따라 dΘ/dt = -1 을 만족하는지 검증할 수 있는가?
• RQ4 유도된 제어 법칙 하에서 시스템 궤적은 어떻게 행동하는가? 그리고 이를 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ5 시간 치환을 통해 시스템이 상수 계수 미분방정식으로 변환되었을 때, 해의 해석적 구조는 어떠한가?

주요 결과

• |u| ≤ 1 인 3차 캐논리컬 시스템에서, 초기 상태 x₀ 에서의 운동 시간은 x₂⁰ = -41(x₁⁰)²/121 이고 x₃⁰ = 0 일 때 Θ₀ = 41x₁⁰/11 이다.
• 궤적은 시간의 함수로 명시적으로 주어지며, t → Θ₀ 일 때 x(t) → 0 이 되어, 유한 시간 수렴이 확인된다.
• 궤적 상의 제어 법칙은 u(t) = -1/41(6 + 35cosα(t)) 로 주어지며, 모든 t 에 대해 |u(t)| ≤ 1 을 만족한다.
• 해는 α(t) = √6 ln(1 - 11t/(41x₁⁰)) 의 형태로 표현되어, 로그 시간 스케일에 의해 조절되는 진동하는 행동을 보인다.
• 해의 상수들은 초기 조건으로부터 결정되며, c₁, c₂, c₃ 는 x₀₁, x₀₂, x₀₃ 와 Θ₀ 를 이용해 표현된다.
• 궤적을 따라 Θ(x)의 도함수가 정확히 -1 이므로, Θ(x)가 원점으로의 진정한 운동 시간임을 확인한다.